在直角坐标系xOy中，动点P到两定点(0，-3)，(0，3)的距离之和等于4，设动点P的轨迹为C，过点(0，3)的直线与C交于A，B两点．（1）写出C的方程；（

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在直角坐标系xOy中，动点P到两定点(0，-3)，(0，3)的距离之和等于4，设动点P的轨迹为C，过点(0，3)的直线与C交于A，B两点．（1）写出C的方程；（

题型：不详难度：来源：
在直角坐标系xOy中，动点P到两定点(0，-


3
)，(0，


3
)的距离之和等于4，设动点P的轨迹为C，过点(0，


3
)的直线与C交于A，B两点．
（1）写出C的方程；
（2）设d为A、B两点间的距离，d是否存在最大值、最小值；若存在，求出d的最大值、最小值．
答案
（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，
点P的轨迹C是以（0，-


3
），（0，


3
）为焦点，
长半轴为2的椭圆．它的短半轴b=


22-(


3
)2
=1，
故曲线C的方程为x2+
y2
4
=1．
（2）①设过点（0，


3
）的直线方程为y=kx+


3
，A（x1，y1），B（x2，y2），
其坐标满足





x2+
y2
4
=1
y=kx+


3

消去y并整理得（k2+4）x2+2


3
kx-1=0．
∴x1+x2=-
2


3
k
k2+4
，y1+y2=k（x1+x2）+2


3
=-
2


3
k2
k2+4 
+2


3
．
∴d=|AF|+|BF|=e（
a2
c
-y1）+e（
a2
c
-y2）
=2a-e（y1+y2）=4=4+
3k2
k2+4
-3
=4-
12
k2+4
．
∵k2≥0，∴k=0时，d取得最小值1．
②当k不存在时，过点（0，


3
）的直线方程为x=0，
此时交点A、B分别为椭圆C的长轴的两端点，
∴d取最大值4．
综上，d的最大值、最小值存在，分别为4、1．
举一反三
设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为


2
2
，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为


2
．
（1）求椭圆方程．
（2）过点P（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，当△OAB面积最大时，求|AB|．
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已知椭圆G的中心是原点O，对称轴是坐标轴，抛物线y2=4


3
x的焦点是G的一个焦点，且离心率e=


3
2
．
（I）求椭圆G的方程；
（II）已知圆M的方程是x2+y2=R2（1＜R＜2），设直线l与圆M和椭圆G都相切，且切点分别为A，B．求当R为何值时，|AB|取得最大值？并求出最大值．
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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的长轴长为4，且点(1，


3
2
)在该椭圆上．
（1）求椭圆的方程．
（2）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于A、B两点，若∠AOB是直角，其中O是坐标原点，求直线l的方程．
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已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为
1
2
，对称轴为坐标轴，且经过点(1，
3
2
)．
（I）求椭圆E的方程；
（II）直线y=kx-2与椭圆E相交于A、B两点，O为原点，在OA、OB上分别存在异于O点的点M、N，使得O在以MN为直径的圆外，求直线斜率k的取值范围．
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设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为


2
2
，过原点O斜率为1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆右焦点F到直线l的距离为


2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆上异于M，N外的一点，当直线PM，PN的斜率存在且不为零时，记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，试探究k1•k2是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
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