已知椭圆E的焦点在x轴上,离心率为12,对称轴为坐标轴,且经过点(1,32).(I)求椭圆E的方程;(II)直线y=kx-2与椭圆E相交于A、B两点,O为原点,
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已知椭圆E的焦点在x轴上,离心率为12,对称轴为坐标轴,且经过点(1,32).(I)求椭圆E的方程;(II)直线y=kx-2与椭圆E相交于A、B两点,O为原点,
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆E的焦点在x轴上,离心率为
1
2
,对称轴为坐标轴,且经过点
(1,
3
2
)
.
(I)求椭圆E的方程;
(II)直线y=kx-2与椭圆E相交于A、B两点,O为原点,在OA、OB上分别存在异于O点的点M、N,使得O在以MN为直径的圆外,求直线斜率k的取值范围.
答案
(I)依题意,可设椭圆E的方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
.
由
c
a
=
1
2
⇒a=2c,
b
2
=
a
2
-
c
2
=3
c
2
,
∵椭圆经过点
(1,
3
2
)
,则
1
4
c
2
+
9
12
c
2
=1
,解得c
2
=1,
∴椭圆的方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
.
(II)联立方程组
y=kx-2
x
2
4
+
y
2
3
=1
,消去y整理得(4k
2
+3)x
2
-16kx+4=0,
∵直线与椭圆有两个交点,
∴△=(-16k)
2
-16(4k
2
+3)>0,解得
k
2
>
1
4
,①
∵原点O在以MN为直径的圆外,
∴∠MON为锐角,即
OM
•
ON
>0
.
而M、N分别在OA、OB上且异于O点,即
OA
•
OB
>0
,
设A,B两点坐标分别为A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
则
OA
•
OB
=(
x
1
,
y
1
)•(
x
2
,
y
2
)=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=(k
2
+1)x
1
x
2
-2k(x
1
+x
2
)+4═
(
k
2
+1)
4
4
k
2
+3
-2k
16k
4
k
2
+3
+4>0
解得
k
2
<
4
3
,②
综合①②可知:
k∈(-
2
3
3
,-
1
2
)∪(
1
2
,
2
3
3
)
.
举一反三
设椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率为
2
2
,过原点O斜率为1的直线l与椭圆C相交于M,N两点,椭圆右焦点F到直线l的距离为
2
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设P是椭圆上异于M,N外的一点,当直线PM,PN的斜率存在且不为零时,记直线PM的斜率为k
1
,直线PN的斜率为k
2
,试探究k
1
•k
2
是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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以双曲线
x
2
4
-
y
2
5
=1
的顶点和焦点分别作焦点和两个顶点的椭圆标准方程是______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
t
2
+
y
2
5t
=1
的焦距为2
6
,则实数t=______.
题型:虹口区二模
难度:
|
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已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,离心率
e=
2
2
,点F
1
,F
2
分别为椭圆的左、右焦点,过右焦点F
2
且垂直于长轴的弦长为
2
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的左焦点F
1
作直线l,交椭圆于P,Q两点,若
F
2
P
•
F
2
Q
=2
,求直线l的倾斜角.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
M:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1 (a>b>0)
的离心率为
3
2
,短轴的长为2.
(1)求椭圆M的标准方程
(2)若经过点(0,2)的直线l与椭圆M交于P,Q两点,满足
OP
•
OQ
=0
,求l的方程.
题型:不详
难度:
|
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