已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=22,点F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,过右焦点F2且垂直于长轴的弦长为2(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆的左
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已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=22,点F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,过右焦点F2且垂直于长轴的弦长为2(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆的左
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,离心率
e=
2
2
,点F
1
,F
2
分别为椭圆的左、右焦点,过右焦点F
2
且垂直于长轴的弦长为
2
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的左焦点F
1
作直线l,交椭圆于P,Q两点,若
F
2
P
•
F
2
Q
=2
,求直线l的倾斜角.
答案
(1)由题意可设椭圆的标准方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
.
右焦点F
2
(c,0),把x=c代入椭圆方程得
c
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
,解得
y=±
b
2
a
.
∴
2
b
2
a
=
2
.
联立
2
b
2
a
=
2
e=
c
a
=
2
2
a
2
=
b
2
+
c
2
,解得
a
2
=2
b=c=1
.
∴椭圆的标准方程为
x
2
2
+
y
2
=1
.
(2)设直线l与椭圆的交点P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
).
①当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为my=x+1.
联立
my=x+1
x
2
2
+
y
2
=1
,得(2+m
2
)y
2
-2my-1=0.
∴
y
1
+
y
2
=
2m
2+
m
2
,
y
1
y
2
=
-1
2+
m
2
.
∵2=
F
2
P
•
F
2
Q
=(x
1
-1,y
1
)•(x
2
-1,y
2
)=(my
1
-2,y
1
)•(my
2
-2,y
2
)=(m
2
+1)y
1
y
2
-2m(y
1
+y
2
)+4,
∴2=
-(
m
2
+1)
2+
m
2
-
4
m
2
2+
m
2
+4
,
化为m
2
=1,解得m=±1,
∴直线l的斜率k=
1
m
=±1.
设直线的倾斜角为α,则tanα=±1.
∴
α=
π
4
或
3π
4
.
②当直线l的斜率为0时,P
(-
2
,0)
,Q
(
2
,0)
.
F
2
P
•
F
2
Q
=
(-
2
-1)×(
2
-1)
=-1≠2,不符合题意,应舍去.
综上可知:直线l的倾斜角α为
π
4
或
3π
4
.
举一反三
已知椭圆
M:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1 (a>b>0)
的离心率为
3
2
,短轴的长为2.
(1)求椭圆M的标准方程
(2)若经过点(0,2)的直线l与椭圆M交于P,Q两点,满足
OP
•
OQ
=0
,求l的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的焦点在x轴上,长轴长为12,离心率为
1
3
,求椭圆的标准方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左右焦点分别为F
1
,F
2
,若△AF
1
F
2
为正三角形且周长为6;
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若椭圆C上存在A,B两点关于直线y=x+m对称,求实数m的取值范围;
(3)若直线l:y=kx+n与椭圆C交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证直线l过定点,并求出定点坐标.
题型:不详
难度:
|
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设m是正实数.若椭圆
x
2
m
2
+16
+
y
2
9
=1
的焦距为8,则m=______.
题型:不详
难度:
|
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在直角坐标系xoy中,点P到两点
(-
3
,0),(
3
,0)
的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+2与C交于不同的两点A,B.
(1)写出C的方程;
(2)求证:
-1<
OA
•
OB
<
13
4
.
题型:不详
难度:
|
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