在直角坐标系xoy中,点P到两点(-3,0),(3,0)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+2与C交于不同的两点A,B.(1)写出C的方程;(2)
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在直角坐标系xoy中,点P到两点(-3,0),(3,0)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+2与C交于不同的两点A,B.(1)写出C的方程;(2)
题型:不详
难度:
来源:
在直角坐标系xoy中,点P到两点
(-
3
,0),(
3
,0)
的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+2与C交于不同的两点A,B.
(1)写出C的方程;
(2)求证:
-1<
OA
•
OB
<
13
4
.
答案
(1)由题意可得,点P是以P
(-
3
,0),(
3
,0)
为焦点的椭圆,且2a=4
∴a=2,c=
3
,b
2
=a
2
-c
2
=1
曲线C的方程为
x
2
4
+
y
2
=1
(2)联立方程
y=kx+2
x
2
4
+
y
2
=1
可得(1+4k
2
)x
2
+16kx+12=0
由△=4k
2
-3>0可得
k
2
>
3
4
设A(x
1
,y
1
)B(x
2
,y
2
)
x
1
+
x
2
=-
16k
1+4
k
2
x
1
x
2
=
12
1+4
k
2
∵
OA
•
OB
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=(1+k
2
)x
1
x
2
+2k(x
1
+x
2
)+4
=
(1+
k
2
)•
12
1+4
k
2
+2k•
-16k
1+4
k
2
+4
=
16-4
k
2
1+4
k
2
令y=
16-4
k
2
1+4
k
2
则可得
k
2
=
16-y
4(y+1)
>
3
4
∴
-1<y<
13
4
即
-1<
OA
•
OB
<
13
4
举一反三
过点(-3,2)且与
x
2
9
+
y
2
4
=1
有相同焦点的椭圆方程为______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左右焦点分别为F
1
,F
2
,短轴两个端点为A,B,且四边形F
1
AF
2
B是边长为2的正方形.求椭圆方程.
题型:不详
难度:
|
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已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为
4
5
3
和
2
5
3
,过P作长轴的垂线恰好过椭圆的右焦点,求椭圆方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的中心在原点,它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直,且此焦点和x轴上的较近端点的距离为4(
2
-1),求椭圆方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆过点(3,0)且离心率为
6
3
,则椭圆标准方程为______.
题型:不详
难度:
|
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