已知椭圆的中心在原点,它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直,且此焦点和x轴上的较近端点的距离为4(2-1),求椭圆方程.

已知椭圆的中心在原点,它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直,且此焦点和x轴上的较近端点的距离为4(2-1),求椭圆方程.

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已知椭圆的中心在原点,它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直,且此焦点和x轴上的较近端点的距离为4(


2
-1),求椭圆方程.
答案
∵椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,
∴设椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),
设短轴的两个端点分别为A、B,左右焦点分别为F1、F2,连结AF2、BF2
∵一个焦点与短轴两端点连线互相垂直,
∴AF2⊥BF2
根据椭圆的对称性得到△ABF2是等腰直角三角形,可得|OA|=|0F2|.
∴b=c,即


a2-c2
=c…①,
又∵焦点和x轴上的较近端点的距离为4(


2
-1),
∴a-c=4(


2
-1)…②,
联解①②可得a=4


2
,c=4,可得a2=32,b2=c2=16
所求椭圆的方程为
x2
32
+
y2
16
=1
举一反三
已知椭圆过点(3,0)且离心率为


6
3
,则椭圆标准方程为______.
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已知a=6,b=5,焦点在y轴上的椭圆的标准方程是(  )
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A.B.
C.D.
若方程
x2
a2
+
y2
a+6
=1
表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是______.
求适合下列条件的椭圆标准方程:
(1)焦点在y上,且经过两点(0,2)和(1,0);
(2)经过点(


6
3


3
)
和点(
2


2
3
,1)
已知椭圆C1,抛物线C2的焦点均在y轴上,C1的中心和C2的顶点均为坐标原点O,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:
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x0-1


2
4
y-2


2
1
16
-21