设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,过原点O斜率为1的直线l与椭圆C相交于M,N两点,椭圆右焦点F到直线l的距离为2.(Ⅰ)求椭圆C的
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设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,过原点O斜率为1的直线l与椭圆C相交于M,N两点,椭圆右焦点F到直线l的距离为2.(Ⅰ)求椭圆C的
题型:不详
难度:
来源:
设椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率为
2
2
,过原点O斜率为1的直线l与椭圆C相交于M,N两点,椭圆右焦点F到直线l的距离为
2
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设P是椭圆上异于M,N外的一点,当直线PM,PN的斜率存在且不为零时,记直线PM的斜率为k
1
,直线PN的斜率为k
2
,试探究k
1
•k
2
是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由.
答案
(I)设椭圆的焦距为2c(c>0),F(c,0),直线l:x-y=0,F到l的距离为
|c|
2
=
2
,解得c=2.又∵
e=
c
a
=
2
2
,∴
a=2
2
,∴b=2.
∴椭圆C的方程为
x
2
8
+
y
2
4
=1
.(6分)
(Ⅱ)由
x
2
8
+
y
2
4
=1
y=x
解得
x=y=
2
6
3
,或
x=y=-
2
6
3
,
不妨设
M(
2
6
3
,
2
6
3
), N(-
2
6
3
,-
2
6
3
)
,P(x,y),
∴
k
PM
•
k
PN
=
y-
2
6
3
x-
2
6
3
•
y+
2
6
3
x+
2
6
3
=
y
2
-
8
3
x
2
-
8
3
,
由
x
2
8
+
y
2
4
=1
,即x
2
=8-2y
2
,代入化简得
k
1
•
k
2
=
k
PM
•
k
PN
=-
1
2
为定值.(12分)
举一反三
以双曲线
x
2
4
-
y
2
5
=1
的顶点和焦点分别作焦点和两个顶点的椭圆标准方程是______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
t
2
+
y
2
5t
=1
的焦距为2
6
,则实数t=______.
题型:虹口区二模
难度:
|
查看答案
已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,离心率
e=
2
2
,点F
1
,F
2
分别为椭圆的左、右焦点,过右焦点F
2
且垂直于长轴的弦长为
2
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的左焦点F
1
作直线l,交椭圆于P,Q两点,若
F
2
P
•
F
2
Q
=2
,求直线l的倾斜角.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
M:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1 (a>b>0)
的离心率为
3
2
,短轴的长为2.
(1)求椭圆M的标准方程
(2)若经过点(0,2)的直线l与椭圆M交于P,Q两点,满足
OP
•
OQ
=0
,求l的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆的焦点在x轴上,长轴长为12,离心率为
1
3
,求椭圆的标准方程.
题型:不详
难度:
|
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