已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),点F到右顶点的距离为3+2(I)求椭圆的方程;(II)设直线l与椭圆交于A、B两点,且与圆
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已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),点F到右顶点的距离为3+2(I)求椭圆的方程;(II)设直线l与椭圆交于A、B两点,且与圆
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左焦点为
F(-
2
,0)
,点F到右顶点的距离为
3
+
2
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线l与椭圆交于A、B两点,且与圆
x
2
+
y
2
=
3
4
相切,求△AOB的面积为
3
2
时求直线l的斜率.
答案
(I)由题意得c=
2
,a+c=
3
+
2
∴
a=
3
,∴b
2
=a
2
-c
2
=1
∴椭圆的方程为
x
2
3
+
y
2
=1
;
(II)当直线l的斜率不存在时,l的方程为
x=±
3
2
,代入椭圆方程,可得
y=±
3
2
,此时|AB|=
3
,△AOB的面积为S=
1
2
|AB|×
3
2
=
3
4
,不符合题意;
当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=kx+m,A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
∵直线l与圆
x
2
+
y
2
=
3
4
相切,∴
|m|
1+
k
2
=
3
2
,即
m
2
=
3
4
(
k
2
+1)
直线与椭圆方程联立,消去y可得(3k
2
+1)x
2
+6kmx+3m
2
-3=0
∴x
1
+x
2
=
-6km
3
k
2
+1
,x
1
x
2
=
3
m
2
-3
3
k
2
+1
∴|AB|=
1+
k
2
×
(
-6km
3
k
2
+1
)
2
-4×
3
m
2
-3
3
k
2
+1
=
3
×
1+
k
2
∴
1
2
×
3
×
1+
k
2
×
3
2
=
3
2
,∴k=±
3
3
即直线l的斜率为±
3
3
.
举一反三
椭圆T的中心为坐标原点O,右焦点为F(2,0),且椭圆T过点E(2,
2
).△ABC的三个顶点都在椭圆T上,设三条边的中点分别为M,N,P.
(1)求椭圆T的方程;
(2)设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k
1
,k
2
,k
3
,且k
i
≠0,i=1,2,3.若直线OM,ON,OP的斜率之和为0,求证:
1
k
1
+
1
k
2
+
1
k
3
为定值.
题型:杨浦区一模
难度:
|
查看答案
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),离心率为
2
2
,过点A的直线l与椭圆交于M、N两点,且
|MN|=
4
2
3
(1)求椭圆的方程;
(2)求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
在直角坐标系xOy中,动点P到两定点
(0,-
3
)
,
(0,
3
)
的距离之和等于4,设动点P的轨迹为C,过点
(0,
3
)
的直线与C交于A,B两点.
(1)写出C的方程;
(2)设d为A、B两点间的距离,d是否存在最大值、最小值;若存在,求出d的最大值、最小值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左焦点为F,离心率为
2
2
,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
2
.
(1)求椭圆方程.
(2)过点P(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,当△OAB面积最大时,求|AB|.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆G的中心是原点O,对称轴是坐标轴,抛物线
y
2
=4
3
x
的焦点是G的一个焦点,且离心率
e=
3
2
.
(I)求椭圆G的方程;
(II)已知圆M的方程是x
2
+y
2
=R
2
(1<R<2),设直线l与圆M和椭圆G都相切,且切点分别为A,B.求当R为何值时,|AB|取得最大值?并求出最大值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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