已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2+y2=1上.(I)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若斜率为k的直线过点M(2,0),
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2+y2=1上.(I)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若斜率为k的直线过点M(2,0),
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x
2
+y
2
=1上.
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若斜率为k的直线过点M(2,0),且与椭圆C相交于A,B两点.试探讨k为何值时,三角形OAB为直角三角形.
答案
(Ⅰ)因为焦点与短轴的端点都在圆x
2
+y
2
=1上,
∴c=1,b=1,
∴a
2
=b
2
+c
2
=1+1=2.
则椭圆方程为:
x
2
2
+
y
2
=1
;
(Ⅱ)由已知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-2).
联立
y=k(x-2)
x
2
2
+
y
2
=1
,得(1+k
2
)x
2
-8k
2
x+8k
2
-2=0.
由△=64k
4
-4(1+k
2
)(8k
2
-2)>0,得
k
2
<
1
2
.
所以k
∈(-
2
2
,
2
2
)
.
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
).
则
x
1
+
x
2
=
8
k
2
1+
k
2
,
x
1
x
2
=
8
k
2
-2
1+
k
2
.
若O为直角顶点,则
OA
•
OB
=0
,即x
1
x
2
+y
1
y
2
=0.
y
1
y
2
=k(x
1
-2)k(x
2
-2).
所以上式可整理得:
8
k
2
-2
1+2
k
2
+
4
k
2
1+2
k
2
=0
.
解得k=
±
5
5
.满足k
∈(-
2
2
,
2
2
)
.
若A或B为直角顶点,不妨设A为直角顶点,
k
OA
=-
1
k
,则A满足
y=-
1
k
x
y=k(x-2)
,解得
x=
2
k
2
k
2
+1
y=-
2k
k
2
+1
代入椭圆方程得k
4
+2k
2
-1=0.
解得k=
±
2
-1
.满足k
∈(-
2
2
,
2
2
)
.
综上,k=
±
5
5
或k=
±
2
-1
时三角形OAB为直角三角形.
举一反三
已知椭圆
C
1
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1 (a>b>0)
过点
A(0,
2
)
且它的离心率为
3
3
.
(1)求椭圆C
1
的方程;
(2)设椭圆C
1
的左焦点为F
1
,右焦点为F
2
,直线l
1
过点F
1
且垂直于椭圆的长轴,动直线l
2
垂直l
1
于点P,线段PF
2
的垂直平分线交l
2
于点M,求点M的轨迹C
2
的方程;
(3)已知动直线l过点Q(4,0),交轨迹C
2
于R、S两点.是否存在垂直于x轴的直线m被以RQ为直径的圆O
1
所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出m的方程;如果不存在,说明理由.
题型:茂名一模
难度:
|
查看答案
已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的焦距为4,且与椭圆
x
2
+
y
2
2
=1
有相同的离心率,斜率为k的直线l经过点M(0,1),与椭圆C交于不同两点A、B.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时,求k的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左焦点为
F(-
2
,0)
,点F到右顶点的距离为
3
+
2
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线l与椭圆交于A、B两点,且与圆
x
2
+
y
2
=
3
4
相切,求△AOB的面积为
3
2
时求直线l的斜率.
题型:不详
难度:
|
查看答案
椭圆T的中心为坐标原点O,右焦点为F(2,0),且椭圆T过点E(2,
2
).△ABC的三个顶点都在椭圆T上,设三条边的中点分别为M,N,P.
(1)求椭圆T的方程;
(2)设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k
1
,k
2
,k
3
,且k
i
≠0,i=1,2,3.若直线OM,ON,OP的斜率之和为0,求证:
1
k
1
+
1
k
2
+
1
k
3
为定值.
题型:杨浦区一模
难度:
|
查看答案
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),离心率为
2
2
,过点A的直线l与椭圆交于M、N两点,且
|MN|=
4
2
3
(1)求椭圆的方程;
(2)求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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