已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点坐标为(±2 , 0),离心率为63.直线y=kx+2交椭圆于P,Q两点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)是否存在实
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已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点坐标为(±2 , 0),离心率为63.直线y=kx+2交椭圆于P,Q两点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)是否存在实
题型:房山区二模
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的焦点坐标为
(±
2
, 0)
,离心率为
6
3
.直线y=kx+2交椭圆于P,Q两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在实数k,使得以PQ为直径的圆过点D(-1,0)?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)由
e=
6
3
=
c
a
,
c=
2
,a
2
=b
2
+c
2
得,
a=
3
,b=1,
所以椭圆方程是:
x
2
3
+
y
2
=1
;
(Ⅱ)设P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),则y
1
=kx
1
+2,y
2
=kx
2
+2,
将y=kx+2代入
x
2
3
+
y
2
=1
,整理得(3k
2
+1)x
2
+12kx+9=0(*),
则
x
1
+
x
2
=-
12k
3
k
2
+1
,
x
1
x
2
=
9
3
k
2
+1
,
以PQ为直径的圆过D(-1,0),
则
PD
⊥
QD
,即
PD
•
QD
=0
,
所以
PD
•
QD
=(x
1
+1,y
1
)•(x
2
+1,y
2
)=(x
1
+1)(x
2
+1)+y
1
y
2
=x
1
x
2
+(x
1
+x
2
)+y
1
y
2
+1=(k
2
+1)x
1
x
2
+(2k+1)(x
1
+x
2
)+5=
-12k+14
3
k
2
+1
=0
.
解得
k=
7
6
,此时(*)方程△>0,
所以存在
k=
7
6
,使得以PQ为直径的圆过点D(-1,0).
举一反三
已知椭圆
E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,点M是椭圆上的任意一点,且|PF
1
|+|PF
2
|=4,椭圆的离心率
e=
1
2
.
(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)过椭圆E的左焦点F
1
作直线l交椭圆于P、Q两点,点A为椭圆右顶点,能否存在这样的直线,使
AP
•
AQ
=3
,若存在,求出直线方程,若不存在,说明理由.
题型:泰安二模
难度:
|
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已知椭C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0),以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F
1
,F
2
为顶点的三角形周长是4+2
3
,且∠BF
1
F
2
=
π
6
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若过点Q(1,
1
2
)引曲线C的弦AB恰好被点Q平分,求弦AB所在的直线方程.
题型:崇明县二模
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
6
3
且过点(0,1).
(I)求此椭圆的方程;
(II)已知定点E(-1,0),直线y=kx+2与此椭圆交于C、D两点.是否存在实数k,使得以线段CD为直径的圆过E点.如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
题型:昌平区二模
难度:
|
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设点F
1
(-c,0),F
2
(c,0)分别是椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
=1(a>1)
的左、右焦点,P为椭圆C上任意一点,且
P
F
1
•
P
F
2
最小值为0.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设定点D(m,0),已知过点F
2
且与坐标轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点,满足|AD|=|BD|,求m的取值范围.
题型:闸北区一模
难度:
|
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在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
x
2
m
+
y
2
8-m
=1.
(1)若椭圆C的焦点在x轴上,求实数m的取值范围;
(2)若m=6,
①P是椭圆C上的动点,M点的坐标为(1,0),求PM的最小值及对应的点P的坐标;
②过椭圆C的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线,交椭圆C于A,B两点,线段AB的垂直平分线l交x轴于点N,证明:
AB
FN
是定值,并求出这个定值.
题型:盐城三模
难度:
|
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