在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且椭圆C的离心率e=12.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭
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在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且椭圆C的离心率e=12.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭
题型:东莞一模
难度:
来源:
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左焦点为F
1
(-1,0),且椭圆C的离心率
e=
1
2
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的上下顶点分别为A
1
,A
2
,Q是椭圆C上异于A
1
,A
2
的任一点,直线QA
1
,QA
2
分别交x轴于点S,T,证明:|OS|•|OT|为定值,并求出该定值;
(3)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=2与圆
O:
x
2
+
y
2
=
16
7
相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.
答案
(1)由题意:
c=1
e=
c
a
=
1
2
a
2
=
b
2
+
c
2
,解得:
a=2,b=
3
所以椭圆C:
x
2
4
+
y
2
3
=1
;
(2)由(1)可知
A
1
(0,
3
),
A
2
(0,-
3
)
,设Q(x
0
,y
0
),
直线QA
1
:
y-
3
=
y
0
-
3
x
0
x
,令y=0,得
x
S
=
-
3
x
0
y
0
-
3
;
直线QA
2
:
y+
3
=
y
0
+
3
x
0
x
,令y=0,得
x
T
=
3
x
0
y
0
+
3
;
则
|OS|•|OT|=|
-
3
x
0
y
0
-
3
•
3
x
0
y
0
+
3
|=|
3
x
20
y
20
-3
|
,
而
x
20
4
+
y
20
3
=1
,所以
3
x
20
=4(3-
y
20
)
,
所以
|OM|•|ON|=|
3
x
20
y
20
-3
|=4
;
(3)假设存在点M(m,n)满足题意,则
m
2
4
+
n
2
3
=1
,即
m
2
=4-
4
3
n
2
.
设圆心到直线l的距离为d,则
d=
2
m
2
+
n
2
,且
d<
4
7
7
.
所以
|AB|=2
16
7
-
d
2
=2
16
7
-
4
m
2
+
n
2
.
所以
S
△OAB
=
1
2
•|AB|•d=
4
m
2
+
n
2
(
16
7
-
4
m
2
+
n
2
)
.
因为
d<
4
7
7
,所以
m
2
+
n
2
>
7
4
,所以
16
7
-
4
m
2
+
n
2
>0
.
所以
S
△OAB
=
4
m
2
+
n
2
(
16
7
-
4
m
2
+
n
2
)
≤
(
4
m
2
+
n
2
+
16
7
-
4
m
2
+
n
2
2
)
2
=
8
7
.
当且仅当
4
m
2
+
n
2
=
16
7
-
4
m
2
+
n
2
,即
m
2
+
n
2
=
7
2
>
7
4
时,S
△OAB
取得最大值
8
7
.
由
m
2
+
n
2
=
7
2
m
2
=4-
4
3
n
2
,解得
m
2
=2
n
2
=
3
2
.
所以
m=
2
n=
6
2
或
m=
2
n=-
6
2
或
m=-
2
n=
6
2
或
m=-
2
n=-
6
2
.
所以存在点M满足题意,点M的坐标为
(
2
,
6
2
),(
2
,-
6
2
),(-
2
,
6
2
)
或
(-
2
,-
6
2
)
.
此时△OAB的面积为
8
7
.
举一反三
已知椭圆C
1
的中心在坐标原点,两个焦点分别为F
1
(-2,0),F
2
(2,0),点A(2,3)在椭圆C
1
上,过点A的直线L与抛物线
C
2
:
x
2
=4y
交于B、C两点,抛物线C
2
在点B,C处的切线分别为l
1
,l
2
,且l
1
与l
2
交于点P.
(1)求椭圆C
1
的方程;
(2)是否存在满足|PF
1
|+|PF
2
|=|AF
1
|+|AF
2
|的点P?若存在,指出这样的点P有几个(不必求出点P的坐标);若不存在,说明理由.
题型:广州一模
难度:
|
查看答案
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)的右焦点为F(3,0),且点(-3,
3
2
2
)在椭圆C上,则椭圆C的标准方程为______.
题型:婺城区模拟
难度:
|
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已知直线
l:y=x+
6
,圆O:x
2
+y
2
=5,椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率
e=
3
3
,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C交于A,B两点.
(1)若
AF
=2
FB
求直线l的方程;
(2)若动点P满足
OP
=
OA
+
OB
,问动点P的轨迹能否与椭圆C存在公共点?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:临沂三模
难度:
|
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已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E(1,
2
3
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
2
,且过点
A(
2
, 1)
.直线
y=
2
2
x+m
交椭圆C于B,D(不与点A重合)两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)△ABD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
题型:房山区二模
难度:
|
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