若存在常数k和b,使得函数f(x)和g(x)在它们的公共定义域上的任意实数x分别满足:f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l:y=kx+b为函数f(
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若存在常数k和b,使得函数f(x)和g(x)在它们的公共定义域上的任意实数x分别满足:f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l:y=kx+b为函数f(
题型:湖北省期末题
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若存在常数k和b,使得函数f(x)和g(x)在它们的公共定义域上的任意实数x分别满足:
f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l:y=kx+b为函数f(x)和g(x)的“隔离直线”.已知f(x)=x
2
,g(x)=2elnx.
(I)求F(x)=f(x)﹣g(x)的极值;
(II)函数f(x)和g(x)是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线的方程,若不存在,请说明理由.
答案
解:(1)∵F(x)=f(x)﹣g(x)=x
2
﹣2clnx(x>0),
∴F′(x)=2x﹣
=(2x
2
﹣2c)/x=
令F′(x)=0,得x=
,
当0<x<
时,F′(x)<0,
X>
时,F′(x)>0
故当x=
时,F(x)取到极小值,极小值是0
(2)由(1)可知,函数f(x)和g(x)的图象在x=
处有公共点,
因此存在f(x)和g(x)的隔离直线,那么该直线过这个公共点,
设隔离直线的斜率为k.则隔离直线方程为y﹣e=k(x﹣
),即y=kx﹣k
+e
由f(x)≥kx﹣
k +e(x∈R),可得x
2
﹣kx﹣k
+e,
由f(x)≥kx﹣
k +e(x∈R),可得x
2
﹣kx+k
﹣e≥0
当x∈R恒成立,则△=k
2
﹣4k
+4e=(k﹣2
)
2
≤0,只有k=2
,
此时直线方程为:y=2
x﹣e,
下面证明g(x)≤2
x﹣e
ex
x>0时恒成立
令G(x)=2
x﹣e﹣g(x)=2
x﹣e﹣2elnx,
G′(x)=2
﹣
=(2
x﹣2c)/x=2
(x﹣
)/x,
当x=
时,G′(X)=0,
当0<x<
时G′(X)>0,
则当x=
时,G(x)取到最小值,极小值是0,也是最小值.
所以G(x)=2
x﹣e﹣g(x)≥0,则g(x)≤2
x﹣e当x>0时恒成立.
∴函数f(x)和g(x)存在唯一的隔离直线y=2
x﹣e
举一反三
设函数
(1)若函数f(x)在其定义域内是减函数,求a的取值范围;
(2)函数f(x)是否有最小值?若有最小值,指出其取得最小值时x的值,并证明你的结论.
题型:河南省期末题
难度:
|
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已知函数
.
(1)当
时,求
的单调递增区间;
(2)是否存在
,使得对任意的
,都有
恒成立.若存在,求出
的取值范围; 若不存在,请说明理由。
题型:重庆市月考题
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已知函数f(x)=
-x
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设m>0,求f(x)在[m,m]上的最大值;
(3)试证明:对任意
,不等式
恒成立.
题型:辽宁省期中题
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已知函数
,其中
.
(1)是否存在实数
,使得
在
处取极值?证明你的结论;
(2)若
在[-1,
]上是增函数,求实数
的取值范围.
题型:辽宁省期中题
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|
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.
(1)某广告商要求包装盒侧面积S(cm
2
)最大,试问x应取何值?
(2)某厂商要求包装盒容积V(cm
)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
题型:广东省期中题
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|
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