已知函数,其中. (1)是否存在实数,使得在处取极值?证明你的结论;(2)若在[-1,]上是增函数,求实数的取值范围.
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已知函数,其中. (1)是否存在实数,使得在处取极值?证明你的结论;(2)若在[-1,]上是增函数,求实数的取值范围.
题型:辽宁省期中题
难度:
来源:
已知函数
,其中
.
(1)是否存在实数
,使得
在
处取极值?证明你的结论;
(2)若
在[-1,
]上是增函数,求实数
的取值范围.
答案
解:(1)
f
"(x) = ax
2
- ax + 1
假设存在实数a,使
f
(x)在x =
处取极值,
则
f
"(
) = -
+ 1 = 0,
∴a = 4
此时,
f
"(x) =
当x <
时,
f
"(x) > 0;
当
<x<1时,
f
"(x) > 0.
∴x =
不是
f
(x)的极值点,
故不存在实数a,使
f
(x)在x =
处极值
(2)依题意知:当x∈[-1,
]时,
f
"(x) = ax
2
- ax + 1≥0恒成立,
当a = 0时,
f
"(x) = 1>0成立;
当a>0时,
f
"(x) = a (x
)
2
+ 1
在
上递减,
则g (x)
min
= g (
) = 1
≥0
∴0<a≤4
当a<0时,
f
"(x) = a (x
)
2
+ 1
在
上递增,
则 g (x)
min
= g (-1) = 2a + 1≥0
∴0>a≥
综上,
≤a≤4为所求
举一反三
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.
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2
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(2)某厂商要求包装盒容积V(cm
)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
题型:广东省期中题
难度:
|
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已知函数
。
(1)求函数
的单调区间;
(2)若函数
在
上是减函数,求实数a的取值范围。
题型:北京市期中题
难度:
|
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给出四个命题:
(1)函数在闭区间
上的极大值一定比极小值大;
(2)函数在闭区间
上的最大值一定是极大值;
(3)对于
,若
,则
无极值;
(4)函数
在区间
上一定不存在最值。
其中正确命题的个数是
[ ]
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
题型:北京市期中题
难度:
|
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已知奇函数f(x)在x>1时,f(x)=
,则f(x)在[-2,
]上的值域为
[ ]
A.[
,0]
B.[0,
]
C.[
,
]
D.[
,
]
题型:甘肃省模拟题
难度:
|
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已知函数F(x)=ax﹣lnx(a>0)
(1)若曲线y=f(x)在点(l,f(l))处的切线方程为y=2x+b,求a,b的值;
(2)若当x∈[l,e]时,函数f(x)的最小值是4,求函数f(x)在该区间上的最大值.
题型:江西省期末题
难度:
|
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