已知:关于x的一元二次方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0(m为实数)(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;(2)在(1)的条件下,求证:无论m

已知:关于x的一元二次方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0(m为实数)(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;(2)在(1)的条件下,求证:无论m

题型:密云县二模难度:来源:
已知:关于x的一元二次方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0(m为实数)
(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
(2)在(1)的条件下,求证:无论m取何值,抛物线y=(m-1)x2+(m-2)x-1总过x轴上的一个固定点;
(3)关于x的一元二次方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0有两个不相等的整数根,把抛物线y=(m-1)x2+(m-2)x-1向右平移3个单位长度,求平移后的解析式.
答案
(1)根据题意,得
△=(m-2)2-4×(m-1)×(-1)>0,即m2>0
解得,m>0或m<0        ①
又∵m-1≠0,
∴m≠1                ②
由①②,得
m<0,0<m<1或m>1.

证明:(2)由y=(m-1)x2+(m-2)x-1,得
y=[(m-1)x-1](x+1)
抛物线y=[(m-1)x-1](x+1)与x轴的交点就是方程[(m-1)x-1](x+1)=0的两根.
解方程,得





x+1=0(1)
(m-1)x-1=0(2)

由(1)得,x=-1,即一元二次方程的一个根是-1,
∴无论m取何值,抛物线y=(m-1)x2+(m-2)x-1总过x轴上的一个固定点(-1,0).

(3)∵x=-1是整数,
∴只需
1
m-1
是整数.
∵m是整数,且m≠1,m≠0,
∴m=2,
当m=2时,抛物线的解析式为y=x2-1,
把它的图象向右平移3个单位长度,
则平移后的解析式为y=(x-3)2-1.
举一反三
如果x取任何实数时,函数y=ax2+bx+c都不能取正值,则必有(  )
A.a>0且△≥0B.a<0且△≤0C.a<0且△≥0D.a>0且△≤0
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抛物线y=x2-mx+m-2与x轴交点的情况是(  )
A.无交点B.一个交点C.两个交点D.无法确定
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在平面直角坐标系中,如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点,将二次函数y=-x2+6x-
27
4
的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色,则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是(  )
A.5B.6C.7D.8
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二次函数y=x2-2x+1的图象与坐标轴的交点个数是(  )
A.0B.1C.2D.3
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二次函数y=x2-2x+1与x轴的交点个数是(  )
A.0B.1C.2D.3
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