阅读：如图（1），在△ABC和△DEF中，∠ABC=∠DEF=90°，AB=DE=a，BC=EF=b（a<6），B、Ｃ、D、E四点都在直线m上，点B与点D

题型：北京模拟题难度：来源：

阅读：如图（1），在△ABC和△DEF中，∠ABC=∠DEF=90°，AB=DE=a，BC=EF=b（a<6），B、Ｃ、D、E四点都在直线m上，点B与点D重合，连接AE、FC，我们可以借助于S_△ACE和S_△FCE的大小关系证明不等式：a²+b²> 2ab（b>a>0）
证明过程如下：
∵BC=b，BE=a，EC=b-a，
∴S_△ACE=EC·AB=（b-a）a，
∴S_△FCE=EC·FE=（b-a）b，
∵b>a>0，
∴S_△FCE >S_△ACE，
即（b-a）b>（b-a）a，
∴b²-ab>ab-a²
∴a²+b²>2ab。
解决下列问题：
（1）现将△DEF沿直线m向右平移，设BD=k（b-a），且0≤k≤1，如图（2），当BD=EC时，k=____，利用此图，仿照上述方法，证明不等式：a²+b²>2ab（b >a>0）；
（2）用四个与△ABC全等的直角三角形纸板进行拼接，也能够借助图形证明上述不等式请你画出一个示意图，并简要说明理由。
                 （1）                                  （2）

答案

解：（1）k=，
证明：如图（1），连接AD、BF，
可得BD=（b-a），
∴S_△ABD=BD·AB=××（b-a）·a=a（b-a），
S_△FBD=BD·FE=××（b-a）·b=b（b-a），
∵b>a>0，
∴S_△ABD<S_△FBD
即<
∴ab-a²<b²-ab
∴a²+b²>2ab， （2）答案不唯一，
举例：如图（2），理由：
延长BA、FE交于点I，
∵b>a >0，
∴S_矩形IBDE> S_矩形ABDG，
即b（b-a）>a（b-a），
∴b²-ab> ab-a²
∴a²+b² >2ab，
举例：如图（3），理由：
四个直角三角形的面积和S₁=4×ab=2ab，
大正方形的面积S₂=a²+b²
∵b>a>0，
∴S₂>S₁
∴a²+b²>2ab。