已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k=0（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根（2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个

题型：福建省竞赛题难度：来源：

已知关于x的方程x²﹣（3k+1）x+2k²+2k=0
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根
（2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．

答案

（1）证明：
△=[﹣（3k+1）]²﹣4×1×（2k²+2k），
=k²﹣2k+1，
=（k﹣1）²，
∴无论k取什么实数值，（k﹣1）²≥0，
∴△≥0，
所以无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）x²﹣（3k+1）x+2k²+2k=0，
因式分解得：（x﹣2k）（x﹣k﹣1）=0，
解得：x₁=2k，x₂=k+1，
∴b，c恰好是这个方程的两个实数根，
设b=2k，c=k+1，当a、b为腰，
则a=b=6，
而a+b＞c，a﹣b＜c，
所以三角形的周长为：6+6+4=16；
当b、c为腰，
则k+1=6，
解得k=5，
∵b+c＜a，
所以这种情况不成立，
∴三角形的周长为：6+6+10=22．
综上，三角形的周长为16或22．