如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF. 解答下列问题: (1)如果AB=AC,∠BA

如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF. 解答下列问题: (1)如果AB=AC,∠BA

题型:湖北省期中题难度:来源:
如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF. 解答下列问题:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF,BD之间的位置关系为 _________ ,数量关系为 _________
②当点D在线段BC的延长线时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
(2)如果AB⊥AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动. 试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C,F重合除外)画出相应图形,并说明理由.(画图不写作法)
(3)若AC=4,BC=3,在(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值.
答案

解:(1)①CF与BD位置关系是垂直,数量关系是相等
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立
由正方形ADEF得AD=AF,∠DAF=90度
∵∠BAC=90°,∴∠DAF=∠BAC,∴∠DAB=∠FAC
又AB=AC,∴△DAB≌△FAC,
∴CF=BD   ∠ACF=∠ABD
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=45°,
∴∠ACF=45°
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°.
即CF⊥BD.
(2)当∠BCA=45°时,CF⊥BD(如图)
理由是:过点A作AG⊥AC交BC于点G,
∴AC=AG可证:△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=45°∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,
即CF⊥BD.
(3)当具备∠BCA=45°时 过点A作AQ⊥BC交BC于点Q,(如图)
∵DE与CF交于点P时,
∴此时点D位于线段CQ上
∵∠BCA=45°,可求出AQ=QC=4.
设CD=x,
∴DQ=4+x
容易说明△AQD∽△DCP,


∴CP=+x,
∵0<x≤3,
∴当x=3时,CP有最大值5.25.


举一反三
如图,P为直线l外一点,A、B、C在l上,且PB⊥l,有下列说法:
①PA,PB,PC三条线段中,PB最短;
②线段PB的长叫做点P到直线l的距离;
③线段AB的长是点A到PB的距离;
④线段AC的长是点A到PC的距离。其中正确的个数是
[     ]
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
题型:同步题难度:| 查看答案
如图,直线AB,CD相交于O,OE平分∠AOD,FO⊥OD于O,∠1=40°,则∠2=(    )度,∠4=(    )度。
题型:同步题难度:| 查看答案
如图,计划把河水引到水池A中,先作AB⊥CD,垂足为B,然后沿AB开渠,能使所开的渠道最短,这样设计的依据是(    ).
题型:广东省期中题难度:| 查看答案
如下图,计划把河水引到水池A中,先作AB⊥CD,垂足为B,然后沿AB开渠,能使所开的渠道最短,这样设计的依据是(    )。
题型:贵州省期中题难度:| 查看答案
如图:(1)过点A画出直线l1的垂线,并注明垂足C。
(2)过点A画直线l1的平行线l2
(3)在直线l1上任取一点D(D不与C重合),过点D画直线l2的垂线DB,并注明垂足B.(4)通过画图,试判断直线AC与BD的位置关系.
题型:江西省期末题难度:| 查看答案
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