如图，ΔABC中，AC=BC，以BC上一点O为圆心、OB为半径作⊙O交AB于点D。已知经过点D的⊙O切线恰好经过点C。 （1）试判断CD与AC的位置关系，并证明

题型：广东省模拟题难度：来源：

如图，ΔABC中，AC=BC，以BC上一点O为圆心、OB为半径作⊙O交AB于点D。已知经过点D的⊙O切线恰好经过点C。
（1）试判断CD与AC的位置关系，并证明。
（2）若ΔACB∽ΔCDB，且AC=3，求圆心O到直线AB的距离。

答案

（1）解：CD与AC互相垂直。
证明：连结OD，∵OB=OD，∴∠ODB=∠B，
        ∵AC=BC，∴∠A=∠B，∴∠A=∠ODB，
        ∴OD∥AC，
       ∵⊙O与直线CD相切，∴CD⊥OD，
        ∴CD⊥AC；
（2）解：∵ ΔACB∽ΔCDB且AC=BC，
               ∴CD=DB ，∴∠A=∠B=∠DCB，
             又∵∠A+∠B+∠DCB+∠ACD=180°，∠ACD=90°，
              ∴∠A=∠B=∠DCB=30°，
            在RtΔACD和RtΔCDO中，OD=CD·tan∠DCB， CD=AC·tan∠A，
           ∴OB=OD= AC·tan∠A·tan∠DCB=
        过点O作OE⊥AB于E，则OE=OB=，
          即圆心O到直线AB的距离为。