已知:如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,P是底边BC上任意一点,过点P作PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为E,F,过点B作BD⊥AC,垂足为D.求证:PE

已知:如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,P是底边BC上任意一点,过点P作PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为E,F,过点B作BD⊥AC,垂足为D.求证:PE

题型:不详难度:来源:
已知:如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,P是底边BC上任意一点,过点P作PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为E,F,过点B作BD⊥AC,垂足为D.求证:PE+PF=BD.魔方格
答案

魔方格
证明:过P作PG⊥BD于G,
∵BD⊥AC,PF⊥AC,
∴PGDF,GDPF(垂直于同一条直线的两条直线互相平行),
∴四边形PGDF是平行四边形(两条对边互相平行的四边形是平行四边形);
又∵∠GDF=90°,
∴四边形PGDF是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形),
∴PF=GD(矩形的对边相等)①
∵四边形PGDF是矩形
∴PGDF,即PGAC,
∴∠BPG=∠C(两条直线平行,同位角相等),
又∵AB=AC(已知)
∴∠ABC=∠C(等腰三角形的两底角相等),
∴∠BPG=∠ABC(等量代换)
∵在△BPE与△PBG中,





∠PEB=∠BGP
∠BPG=∠ABC
BP=PB

∴△BPE≌△PBG(AAS)
∴PE=BG②
①+②:PE+PF=BG+GD
即PE+PF=BD.
举一反三
某单位自行车车棚的顶部支架为一个等腰三角形ABC,AB=AC,如图所示.BC是一条水平的横梁,其跨度BC=8米,∠BAC=120
魔方格
°,从顶部A悬挂铅垂线AD,与BC相交于点E.求:
(1)BE的长;
(2)∠BAD的度数.
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如图,∠MON=43°,点A在射线OM上,动点P在射线ON上滑动,要使△AOP为等腰三角形,那么满足条件的点P共有(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个
魔方格
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如图,BD是等边△ABC的高,E是BC延长线上一点,且CE=
1
2
BC

(1)直接写出CE与CD的数量关系;
(2)试说明△BDE是等腰三角形.魔方格
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等腰三角形两条边的长分别为5和2,那么它的周长是(  )
A.12B.9C.9或12D.无法确定
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分别以等腰三角形的腰与底边向三角形外作正三角形,其周长为24和36,求等腰三角形的周长.
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