解:(1)∵A(0,2),B(2,0)
∴OA=2,OB=2;
Rt△OAB中,由勾股定理,得:AB==4;
(2)∵∠AOB=90°,
∴AB是⊙O的直径;
∴C的半径r=2;
过C作CE⊥y轴于E,则CE∥OB;
∴C是AB的中点,
∴CE是△AOB的中位线,
则OE=OA=1,CE=OB=,即C(,1);
故⊙C的半径为2,C(,1);
(3)作OB的垂直平分线,交⊙C于M、N,交OB于D;
如图;连接OC;由垂径定理知:MN必过点C,即MN是⊙C的直径;
∴M(,3),N(,﹣1);
在Rt△OMD中,MD=3,OD=,∴∠BOM=60°;
∵MN是直径,∴∠MON=90°,∠BON=30°;
由于MN垂直平分OB,所以△OBM、△OBN都是等腰三角形,
因此M、N均符合P点的要求;
故存在符合条件的P点:P1(,3),∠BOP1=60°;
P2(,﹣1),∠BOP2=30°.
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