如下图，在四边形ABCD中，∠B=90°，DE?AB，DE交BC于E，交AC于F，DE=BC，∠CDE=∠ACB=30°。（1）求证：△FCD是等腰三角形；（2

题型：甘肃省期末题难度：来源：

如下图，在四边形ABCD中，∠B=90°，DE?AB，DE交BC于E，交AC于F，DE=BC，∠CDE=∠ACB=30°。
（1）求证：△FCD是等腰三角形；
（2）若AB=4，求CD的长。

答案

解：（1）∵DE∥AB，∠B=90°，
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE=90°﹣∠CDE=60°，
∴∠DCF=∠DCE﹣∠ACB=30°，
∴∠CDE=∠DCF，
∴DF=CF，
∴△FCD是等腰三角形；
（2）在△ACB和△CDE中，
，
∴△ACB≌△CDE，
∴AC=CD
在Rt△ABC 中，
∠B=90°，∠ACB=30°，AB=4，
∴AC=2AB=8，
∴CD=8。