（1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上且CE=CA，试求∠DAE的度数。（2）如果把第（1）题

题型：江苏期末题难度：来源：

（1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上且CE=CA，试求∠DAE的度数。
（2）如果把第（1）题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？说明理由。
（3）如果把第（1）题中“∠BAC=90^。”的条件改为“∠BAC>90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的大小关系？

答案

解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°　
                ∴∠B=∠ACB=45° 　　
                 ∵BD=BA 　　 
               ∴∠BAD=∠BDA=（180°-∠B）=67.5° 　　 
               ∵CE=CA 　　
                ∴∠CAE=∠E=∠ACB=22.5° 
                在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E=112.5° 
               ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=112.5°-67.5°=45°
        （2）不改变
                  设∠CAE=x 
                ∵CA=CE 　　
                ∴∠E=∠CAE=x 　　
                ∴∠ACB=∠CAE+∠E=2x 　
                 在△ABC中，∠BAC=90° 　　
                 ∴∠B=90°-∠ACB=90°-2x 　　
                 ∵BD=BA 
              ∴∠BAD=∠BDA=（180°-∠B）=x+45° 
             在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E 　　　
                                           =180°-(90°-2x）-x=90°+x 　　
                ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD 　　　　　　
                             =（90°+x）-（x+45°）
                             =45°
（3）∠DAE=∠BAC
        理由：设∠CAE=x，∠BAD=y 　　　
                   则∠B=180°-2y，∠E=∠CAE=x 　　
                   ∴∠BAE=180°-∠B-∠E=2y-x 　　
                   ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=2y-x-y=y-x 　　
                       ∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x 
                  ∴∠DAE=∠BAC