如图，y轴的负半轴平分∠AOB， P为y轴负半轴上的一动点，过点P作x轴的平行线分别交OA、OB于点M、N。（1）如图， MN⊥y轴吗？为什么？ （2）如图，当

题型：湖北省期末题难度：来源：

如图，y轴的负半轴平分∠AOB， P为y轴负半轴上的一动点，过点P作x轴的平行线分别交OA、OB于点M、N。
（1）如图， MN⊥y轴吗？为什么？
（2）如图，当点P在y轴的负半轴上运动到AB与y轴的交点处，其他条件都不变时，等式∠APM=（∠OBA-∠A）是否成立？为什么？
（3）当点P在y轴的负半轴上运动到如图处（Q为BA、NM的延长线的交点），其他条件都不变时，试问∠Q、∠OAB、∠OBA之间是否存在某种数量关系？若存在，请写出其关系式，并加以证明；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）MN⊥y轴
∵MN∥x轴，
又∠XOP=90°，
∴∠OPN=90°
即MN⊥y轴。
（2）∵PO平分∠AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
又∠MPO=∠NPO=90°
∴∠OMP=∠N
∵∠OMP=∠A+∠APM ∠APM=∠BPN
∴∠OBA=∠BPN+∠N=∠APM+∠OMP=∠APM+（∠A+∠APM ）
∴∠APM=（∠OBA-∠A）。
（3）∠Q=（∠OBA-∠OAB）
∵∠OAB=∠MAQ
∴∠AMN=∠Q+∠MAQ=∠Q+∠OAB
又∠AMN=∠N
∴∠N=∠Q+∠OAB
∴∠OBA=∠Q+∠N=∠Q+（∠Q+∠OAB）
即∠Q=（∠OBA-∠OAB）。