如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB2=AF·AC，cos

题型：期末题难度：来源：

如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB²=AF·AC，cos∠ABD=，AD=12。
（1）求证：△ANM≌△ENM；
（2）求证：FB是⊙O的切线；
（3）证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S。

答案

解：（1）证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°
又∵EM⊥BC，BM平分∠ABC，
∴AM=ME，∠AMN=∠EMN
又∵MN=MN，
∴△ANM≌△ENM；
（2）证明：∵AB²=AF·AC
∴
又∵∠BAC=∠FAB=90°，
∴△ABF∽△ACB
∴∠ABF=∠C
又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90°
∴FB是⊙O的切线；
（3）由（1）得AN=EN，AM=EM，∠AMN=∠EMN
又∵AN∥ME
∴∠ANM=∠EMN
∴∠AMN=∠ANM，
∴AN=AM
∴AM=ME=EN=AN
∴四边形AMEN是菱形，
∵cos∠ABD=，∠ADB=90°
∴
设BD=3x，则AB=5x，由勾股定理，而AD=12，
∴x=3，
∴BD=9，AB=15
∵MB平分∠AME
∴BE=AB=15，
∴DE=BE=BD=6
∵ND∥ME，
∴∠BND=∠BME
又∵∠NBD=∠MBE，
∴△BAD∽△BME，
则
设ME=y，则ND=12-y，
解得y=，
∴S=ME·DE=×6=45。