操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN。探究

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN。
探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。
①AN=NC（如图②）；
②DM∥AC（如图③）。
附加题：若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由。

答案

解：BM+CN=MN
证明：如图，延长AC至M₁，使CM₁=BM，连结DM₁，
由已知条件知：∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
∵BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM₁，
∴∠MDB=∠M₁DC，DM=DM₁，
∴∠MDM₁=（120°-∠MDB）+∠M₁DC=120°，
又∵∠MDN=60°，
∴∠M₁DN=∠MDN=60°，
∴△MDN≌△M₁DN，
∴MN=NM₁=NC+CM₁=NC+MB；
附加题： CN-BM=MN，
证明：如图，在CN上截取，使CM₁=BM，连结DM₁，
∵∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠DBM=∠DCM₁=90°，
∵BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM₁，
∴∠MDB=∠M₁DC，
DM=DM₁，
∵∠BDM+∠BDN=60°，
∴∠CDM₁+∠BDN=60°，
∴∠NDM₁=∠BDC-（∠M₁DC+∠BDN）=120°-60°=60°
∴∠M₁DN=∠MDN，
∵AD=AD，
∴△MDN≌△M₁DN，
∴MN=NM₁=NC-CM₁=NC-MB。