在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°<α<90°）得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别

题型：山西省中考真题难度：来源：

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°<α<90°）得△A₁BC₁，A₁B交AC于点E，A₁C₁分别交AC、BC于D、F 两点。
（1）如图（1），观察并猜想，在旋转过程中，线段EA₁与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图（2），当α=30°时，试判断四边形BC₁DA的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求ED的长。

答案

解：（1）EA₁=FC；
证明：∵AB=BC，
∴∠∠A=∠C，
由旋转可知，AB=BC₁，∠A=∠C₁，∠ABE=∠C₁BF，
∴△ABE≌△C1BF，
∴BE=BF，
又∵BA₁=BC，
∴BA₁-BE=BC-BF，即EA₁=FC；（2）四边形BC1DA是菱形；理由：
∵∠A₁=∠ABA₁=30°，
∴A₁C₁∥AB，同理AC∥BC₁，
∴四边形BC₁DA是平行四边形，
又∵AB=BC₁，
∴四边形BC₁DA是菱形；（3）如图，过点E作EG⊥AB于点G，则AG=BC=1，
在Rt△AEG中，，
由（2）知四边形BC₁DA是菱形，
∴AD=AB=2，
∴。