设F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,其右焦点是直线y=x-1与x轴的交点,短轴的长是焦距的2倍.(1)求椭圆的方程;(2)若
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设F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,其右焦点是直线y=x-1与x轴的交点,短轴的长是焦距的2倍.(1)求椭圆的方程;(2)若
题型:南汇区二模
难度:
来源:
设F
1
、F
2
分别是椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左、右焦点,其右焦点是直线y=x-1与x轴的交点,短轴的长是焦距的2倍.
(1)求椭圆的方程;
(2)若P是该椭圆上的一个动点,求
P
F
1
•
P
F
2
的最大值和最小值;
(3)是否存在过点A(5,0)的直线l与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F
2
C|=|F
2
D|?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.
答案
(1)易知直线y=x-1与x轴的交点是(1,0),所以c=1,且b=2c=2,
所以椭圆的方程是
x
2
5
+
y
2
4
=1
…(4分)
(2)易知F
1
=(-1,0),F
2
(1,0)…(6分)
设P(x,y),则
P
F
1
•
P
F
2
=(-1-x,-y)•(1-x,-y)=
x
2
+
y
2
-1
=
x
2
+4-
4
5
x
2
-1=
1
5
x
2
+3
…(8分)∵
x∈[-
5
,
5
]
,∴当x=0,即点P为椭圆短轴端点时,
P
F
1
•
P
F
2
有最小值3;
当
x=±
5
,即点P为椭圆长轴端点时,
P
F
1
•
P
F
2
有最大值4 …(10分)
(3)假设存在这样的直线:y=kx+b 5k+b=0 k=-
b
5
连接F
2
C,F
2
D,并作F
2
H垂直于CD,交直线y与H,△F2CD为等腰△
设C 点的坐标为(x
1
,y
1
)D 点的坐标为(x
2
,y
2
),F
2
H的斜率为:
5
b
把y=kx+b和
x
2
5
+
y
2
4
=1
联立,并消去y:
(20+b
2
)x
2
-10b
2
x+25b
2
-100=0
根据二次方程定理:
x
1
+
x
2
2
=
5
b
2
20+
b
2
同理
y
1
+
y
2
2
=
20b
20+
b
2
∴直线的斜率
20b
20+
b
2
5
b
2
20+
b
2
-1
=
5
b
.方程b无解
故不存在直线,使得|F
2
C|=|F
2
D|
举一反三
过抛物线
y=
1
4
x
2
的焦点作直线交抛物线于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)两点,若
y
1
+
y
2
=2
2
,则弦长|AB|的值为______.
题型:不详
难度:
|
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已知等轴双曲线x
2
-y
2
=r
2
上的点M在x轴上的射影是N,则线段MN的中点P的轨迹方程是______.
题型:不详
难度:
|
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直线y=kx+m(k∈R)与椭圆
x
2
13
+
y
2
8
=1
恒有交点,则m的取值范围是( )
A.
-
8
≤m≤
8
B.8≤m≤13
C.m≥0
D.以上都不对
题型:不详
难度:
|
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已知动点P到直线x=4的距离等于到定点F
1
(1,0)的距离的2倍,
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)过F
1
且斜率k=1的直线交上述轨迹于C、D两点,若A(2,0),求△ACD的面积S.
题型:不详
难度:
|
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以(1,2)为法向量的直线过椭圆
x
2
25
+
y
2
9
=1
的右焦点,则该直线方程为______.
题型:不详
难度:
|
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