以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE

题型：北京模拟题难度：来源：

以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE 的位置关系及数量关系。
（1）如图（1）当△ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是____，线段AM与DE的数量关系是____；
（2）将图（1）中的等腰Rt△ABD绕点A沿逆时针方向旋转θ°（0<θ<90）后，如图（2）所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由。

答案

解：（1）AM⊥DE，AM=DE； （2）结论仍然成立，
证明：如图，延长CA至F，使FA=AC，FA 交DE于点P，连接BF，
∵DA⊥BA，EA⊥AF，
∴∠BAF=90°+∠DAF=∠EAD，
在△FAB与△EAD中：
FA=AE，∠BAF=∠EAD，BA=DA，
∴ △FAB≌△EAD（SAS），
∴BF=DE，∠F=∠AEP，
∴∠FPD+∠F=∠APE+∠AEP=90°，
∴FB⊥DE，
又CA=AF，CM=MB，
∴AM∥FB且AM=FB，
∴AM⊥DE，AM=DE。