已知:对于任意两个二次函数y1=a1x2+b1x+c1,y2=a2x2+b2x+c2,其中 a1·a2≠0,当|a1|=|a2|时,我们称这两个二次函数的图象为

已知:对于任意两个二次函数y1=a1x2+b1x+c1,y2=a2x2+b2x+c2,其中 a1·a2≠0,当|a1|=|a2|时,我们称这两个二次函数的图象为

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已知:对于任意两个二次函数y1=a1x2+b1x+c1,y2=a2x2+b2x+c2,其中 a1·a2≠0,当|a1|=|a2|时,我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线,现有△ABM,A(-1,0),B(1,0),我们记过三点的二次函数的图象为“C□□□”(”□□□“中填写相应三个点的字母),如过点A、B、M三点的二次函数的图象为CABM
(1)如果已知M(0,1),△ABM≌△ABN,请通过计算判断CABM与CABN是否为全等抛物线;
(2)①若已知M(0,n),在图中的平面直角坐标系中,以A、B、M三点为顶点,画出平行四边形,并求抛物线CABM的解析式,然后请直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线解析式;
②若已知M(m,n),当m,n满足什么条件时,存在抛物线CABM?根据以上的探究结果,在图中的平面直角坐标系中,以A、B、M三点为顶点,画出平行四边形,然后请列出所有满足过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线C□□□
答案
解:(1)设抛物线CABM的解析式为y=ax2+bx+c,
如图(1),∵抛物线CABM过点A(-1,0),B(1、0),M(1,1),得
 解得
∴抛物线CABM式为y=-x2+1,
同理可得抛物线CABN的解析式为y=x2-1,
∴CABM与CABN是全等抛物线。 (2)①如图(2),
设抛物线CABN的解析式为y=a′x2+b′x+c′,
∵抛物线CABM过点A(-1,0),B(1,0),M(0,n),
∴0=a′-b′+c′,0=a′+b′+c′,n=c′
 解得a′=-n,b′=0,c′=n,
∴抛物线CABM的解析式为y=-nx2+n,
所有与CABM全等的抛物线有:
y=nx2-n,y=n(x-1)2,y=n(x+1)2
②如图(3),当n≠0且m≠1时,存在抛物线CABM
与CABM全等的抛物线有:CABN、CAME、CBMF
举一反三
已知如图,在ABCD中,点E是AD的中点,延长CE交BA的延长线于点F。
求证:AB=AF。
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如图(1),四边形ABCD中,将顶点为A的角绕着顶点A顺时针旋转,角的一条边与DC的延长线交于点F,角的另一条边与CB的延长线交于点E,连接EF
(1)若四边形ABCD为正方形,当∠EAF=45°时,有EF=DF-BE,请你思考如何证明这个结论(只思考,不必写出证明过程);
(2)如图(2),如果在四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,当∠EAF=∠BAD时,EF与DF、BE之间有怎样的数量关系?请写出它们之间的关系式(只需写出结论);
(3)如图(3),如果四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC与∠ADC互补,当∠EAF=∠BAD时,EF与DF、BE之间有怎样的数量关系?请写出它们之间的关系式并给予证明;
(4)在(3)中,若BC=4,DC=7,CF=2,求△CEF的周长(直接写出结果即可)。
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已知:如图,在平行四边形ABCD中,点E、F分别是AB、DC的中点,求证:∠DEA=∠BFC。
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已知,如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,E为AD 上一点,BE=AC,∠ABD=∠BAD。
求证:DE=DC。
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已知△ABC,∠ABC=∠ACB=63°,如图(1)所示,取三边中点,可以把△ABC分割成四个等腰三角形,请你在图(2)中,用另外四种不同的方法把△ABC分割成四个等腰三角形,并标明分割后的四个等腰三角形的底角的度数(如果经过变换后两个图形重合,则视为同一种方法)。
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