如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴ 求证：

题型：湖北省期中题难度：来源：

如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
⑶ 当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长.

答案

解：⑴∵△ABE是等边三角形
∴BA=BE，∠ABE=60°
∵∠MBN=60°
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN 即∠BMA=∠NBE
又∵MB=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS） 
⑵①当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小. 
②如图，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小
理由如下： 连接CE交BD于点M
由⑴知，△AMB≌△ENB
∴AM=EN
∵∠MBN=60°，MB=NB
∴△BMN是等边三角形
∴BM=MN，∠BMN=∠BNM=60° 
∴∠ENB=∠CMB=120°
∴∠ENB+∠BNM=180°
∴点N在EC上
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短 
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长. 
⑶