在同一平面内,△ABC和△ABD如图①放置,其中AB=BD.小明做了如下操作:将△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA,将△ABD绕着边AD的中点旋转
题型:不详难度:来源:
在同一平面内,△ABC和△ABD如图①放置,其中AB=BD. 小明做了如下操作: 将△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA,将△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA,如图②,请完成下列问题: (1)试猜想四边形ABDF是什么特殊四边形,并说明理由; (2)连接EF,CD,如图③,求证:四边形CDEF是平行四边形.
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答案
(1)四边形ABDF是菱形;理由见解析;(2)证明见解析. |
解析
试题分析:(1)根旋转的性质得AB=DF,BD=FA,由于AB=BD,所以AB=BD=DF=FA,则可根据菱形的判定方法得到四边形ABDF是菱形; (2)由于四边形ABDF是菱形,则AB∥DF,且AB=DF,再根据旋转的性质易得四边形ABCE为平行四边形,根据判死刑四边形的性质得AB∥CE,且AB=CE,所以CE∥FD,CE=FD,所以可判断四边形CDEF是平行四边形. 试题解析:(1)解:四边形ABDF是菱形.理由如下: ∵△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA, ∴AB=DF,BD=FA, ∵AB=BD, ∴AB=BD=DF=FA, ∴四边形ABDF是菱形; (2)证明:∵四边形ABDF是菱形, ∴AB∥DF,且AB=DF, ∵△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA, ∴AB=CE,BC=EA, ∴四边形ABCE为平行四边形, ∴AB∥CE,且AB=CE, ∴CE∥FD,CE=FD, ∴四边形CDEF是平行四边形. |
举一反三
如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD. (1)求证:四边形OCED为菱形; (2)连接AE、BE,AE与BE相等吗?请说明理由.
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某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究,已知AB=8. 问题思考: 如图1,点P为线段AB上的一个动点,分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE. (1)在点P运动时,这两个正方形面积之和是定值吗?如果时求出;若不是,求出这两个正方形面积之和的最小值. (2)分别连接AD、DF、AF,AF交DP于点A,当点P运动时,在△APK、△ADK、△DFK中,是否存在两个面积始终相等的三角形?请说明理由.
问题拓展: (3)如图2,以AB为边作正方形ABCD,动点P、Q在正方形ABCD的边上运动,且PQ=8.若点P从点A出发,沿A→B→C→D的线路,向D点运动,求点P从A到D的运动过程中,PQ的中点O所经过的路径的长。 (4)如图(3),在“问题思考”中,若点M、N是线段AB上的两点,且AM=BM=1,点G、H分别是边CD、EF的中点.请直接写出点P从M到N的运动过程中,GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值. |
如图,已知直角梯形ABCD的一条对角线把梯形分为一个直角三角形和一个以BC为底的等腰三角形.若梯形上底为5,则连接△DBC两腰中点的线段的长为 .
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如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A,C的坐标分别为A(10,0),C(0,4),点D是OA的中点,点P为线段BC上的点.小明同学写出了一个以OD为腰的等腰三角形ODP的顶点P的坐标(3,4),请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标 .
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如图,点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点,以线段AG为边作一个正方形AEFG,线段EB和GD相交于点H.若AB=,AG=1,则EB= .
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