如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,点A关于对角线BD的对称点F刚好落在腰DC上,连接AF交BD于点E,AF的延长线与BC的延长线交于点G,M,
题型:不详难度:来源:
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,点A关于对角线BD的对称点F刚好落在腰DC上,连接AF交BD于点E,AF的延长线与BC的延长线交于点G,M,N分别是BG,DF的中点.
(1)求证:四边形EMCN是矩形; (2)若AD=2,S梯形ABCD=,求矩形EMCN的长和宽. |
答案
解:(1)证明:∵点A、F关于BD对称,∴AD=DF,DE⊥AF。 又∵AD⊥DC,∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形。∴∠DAF=∠EDF=45°。 ∵AD∥BC,∴∠G=∠GAF=45°。∴△BGE是等腰直角三角形。 ∵M,N分别是BG,DF的中点,∴EM⊥BC,EN⊥CD。 又∵AD∥BC,AD⊥DC,∴BC⊥CD。∴四边形EMCN是矩形。 (2)由(1)可知,∠EDF=45°,BC⊥CD,∴△BCD是等腰直角三角形。∴BC=CD, ∴S梯形ABCD=(AD+BC)•CD=(2+CD)•CD=,即CD2+2CD﹣15=0。 解得CD=3,CD=﹣5(舍去)。 ∵△ADF、△DEF是等腰直角三角形,∴DF=AD=2。 ∵N是DF的中点,∴EN=DN=DF=×2=1。 ∴CN=CD﹣DN=3﹣1=2。 ∴矩形EMCN的长和宽分别为2,1。 |
解析
试题分析:(1)根据轴对称的性质可得AD=DF,DE⊥AF,判断出△ADF、△DEF是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质求出∠DAF=∠EDF=45°,根据两直线平行,内错角相等求出∠BCE=45°,然后判断出△BGE是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得EM⊥BC,EN⊥CD,再根据矩形的判定证明即可。 (2)判断出△BCD是等腰直角三角形,然后根据梯形的面积求出CD的长,再根据等腰直角三角形的性质求出DN,即可得解。 |
举一反三
如图,在菱形ABCD中,已知∠A=60°,AB=5,则△ABD的周长是
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如图,把矩形ABCD沿直线EF折叠,若∠1=20°,则∠2=
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如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB∥DE,∠DEC=∠C,求证:梯形ABCD是等腰梯形.
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如图,四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC,连结AC、BD.在平面内将△DBC沿BC翻折得到△EBC.
(1)四边形ABEC一定是什么四边形? (2)证明你在(1)中所得出的结论. |
如图,D是△ABC的边AB上一点,CN∥AB,DN交AC于点M,若MA=MC.
(1)求证:CD=AN; (2)若AC⊥DN,∠CAN=30°,MN=1,求四边形ADCN的面积. |
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