P、Q、R、S四个小球分别从正方形ABCD的四个定点A、B、C、D点出发,以同样的速度分别沿AB、BC、CD、DA的方向滚动,其终点分别是B、C、D、A。(1)
题型:不详难度:来源:
P、Q、R、S四个小球分别从正方形ABCD的四个定点A、B、C、D点出发,以同样的速度分别沿AB、BC、CD、DA的方向滚动,其终点分别是B、C、D、A。
(1)不管滚动多长时间,求证:四边形PQRS为正方形; (2)连结对角线AC、BD、PR、SQ,你发现四条对角线有何关系? (3)根据此图,若有四个全等的直角三角形,你能否拼成一个正方形?若这个三角形直角边为a、b,斜边问c,你能否根据面积推导出勾股定理? |
答案
(1)见解析(2)四条对角线相交于一点,且互相平分(3)能拼成一个正方形,见解析 |
解析
(1)四个动点,P、Q、E、F分别从正方形ABCD的顶点A、B、C、D同时出发,沿着AB、BC、CD、DA以同样速度向B、C、D、A移动可得AP=BQ=CF=DS,PB=QC=FD=SA. 可得△APS≌△BQP≌△CFQ≌△DFS, 得PQ=QF=FS=SP. ∠SPA=∠PQB. 又∠PQB+∠QPB=90°, 所以∠FPA+∠QPB=90°,∠FPQ=90°. 所以PQEF为正方形.(3分) (2)四条对角线相交于一点,且互相平分.(1分) (3)能拼成一个正方形.用面积的方法来证明 直角边分别是a,b.斜边是c, 整个大正方形的面积应该是(a+b)2 而一个一个进行分解计算,4个小三角形的面积是4×ab=2ab. 中间的正方形面积是c2 则(a+b)2=2ab+c2,分解开就可以得到a2+b2=c2.(4分) (1)可先证明△APF≌△BQP≌△CEQ≌△DFE,得PQ=QE=EF=FP;再证∠FPQ=90°; (2)用面积的方法来证明,拼出的大正方形的面积,既可以用正方形面积公式求得,也可以用中间四个小三角形和小正方形的面积和来表示,列出相等关系,即可求证. |
举一反三
如图,任意四边形ABCD,对角线AC、BD交于O点,过各顶点分别作对角线AC、BD的平行线,四条平行线围成一个四边形EFGH.试想当四边形ABCD的形状发生改变时,四边形EFGH的形状会有哪些变化?完成以下题目:
(1)当ABCD为任意四边形时,EFGH为________________; 当ABCD为矩形时,EFGH为________________; 当ABCD为菱形时,EFGH为________________; 当ABCD为正方形时,EFGH为________________; 当EFGH是矩形时,ABCD为________________; 当EFGH是菱形时,ABCD为________________; 当EFGH是正方形时,ABCD为________________. (2)请选择(1)中任意一个你所写的结论进行证明. (3)反之,当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时,相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件? |
已知:在四边形ABCD中,AC = BD,AC与BD交于点O,∠DOC = 60°.
(1)当四边形ABCD是平行四边形时(如图1),证明AB + CD = AC; (2)当四边形ABCD是梯形时(如图2),AB∥CD,线段AB、CD和线段AC之间的数量关系是_____________________________; (3)如图3,四边形ABCD中,AB与CD不平行,结论AB + CD = AC是否仍然成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由. |
如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形的面积为100,小正方形的面积为4,若用x,y表示直角三角形的两直角边(x>y),下列4个说法: ①;②x-y=2;③;④x+y="14." 其中说法正确的是 (只填序号) |
如图.在△ABC中.D是AB的中点.E是CD的中点.过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F.连结BF。 (1)求证:DB=CF; (2)在△ABC中添加一个条件: ,使四边形BDCF为 (填:矩形或菱形)。 |
满足下列条件的图形中 ①对角线长为6和8的菱形; ②边长为6和8的平行四边形; ③边长为6和8的矩形; ④边长为7的正方形; 面积最大的是 |
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