如图,在正方形ABCD中,AB=1,AC是以点B为圆心,AB长为半径的圆的一条弧,点E是边AD上的任意一点(点E与A、D不重合),过E作AC所在圆的切线,交边D
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如图,在正方形ABCD中,AB=1,AC是以点B为圆心,AB长为半径的圆的一条弧,点E是边AD上的任意一点(点E与A、D不重合),过E作AC所在圆的切线,交边D
题型:不详
难度:
来源:
如图,在正方形ABCD中,AB=1,AC是以点B为圆心,AB长为半径的圆的一条弧,点E是边AD上的任意一点(点E与A、D不重合),过E作AC所在圆的切线,交边DC于点F,G为切点
小题1:当∠DEF=
时,试说明点G为线段EF的中点;
小题2:设AE=
,FC=
,用含有
的代数式来表示
,并写出
的取值范围
小题3:如果把△DEF沿直线EF对折后得△
,如图2,当
时,讨论△
与△
是否相似,如果相似,请加以证明;如果不相似,只要写出结论,不要求写出理由.
答案
小题1:∵∠DEF=45°,
∴∠DFE=90°-∠DEF=45°.
∴∠DFE=∠DEF.
∴DE=DF.
又∵AD=DC,
∴AE=FC.
∵AB是圆B的半径,AD⊥AB,
∴AD切圆B于点A.
同理:CD切圆B于点C.
又∵EF切圆B于点G,
∴AE=EG,FC=FG.
∴EG=FG,即G为线段EF的中点.
小题2:根据(1)中的线段之间的关系,得EF=x+y,DE=1-x,DF=1-y,
根据勾股定理,得:
(x+y)
2
=(1-x)
2
+(1-y)
2
∴y=
(0<x<1).
小题3:当EF=
时,由(2)得EF=EG+FG=AE+FC,
即x+
=
,
解得x
1
=
或x
2
=
.
①当AE=
时,△AD
1
D∽△ED
1
F,
证明:设直线EF交线段DD
1
于点H,由题意,得:
△EDF≌△ED
1
F,EF⊥DD
1
且DH=D
1
H.
∵AE=
,AD=1,
∴AE=ED.
∴EH∥AD
1
,∠AD
1
D=∠EHD=90°.
又∵∠ED
1
F=∠EDF=90°,
∴∠ED
1
F=∠AD
1
D.
∴△ED
1
F∽△AD
1
D.
②当AE=
时,△ED
1
F与△AD
1
D不相似.
解析
此题综合运用了切线长定理、相似三角形的判定和性质;能够发现正方形,根据正方形的性质进行分析证明
举一反三
如图,在矩形ABCD中,有一个菱形BFDE(点E、F分别在线段AB、CD上),记它们的面积分别为
和
. 现给出下列命题:
①若
,则
;②若
,则DF=2AD.
那么,下面判断正确的是( )
A.①是真命题,②是真命题 B.①是真命题,②是假命题
C.①是假命题,②是真命题 D.①假真命题,②假真命题
题型:不详
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|
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如图1,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则图中的全等三角形共有( )
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
题型:不详
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如图,四边形
ABCD
中,
DC
∥
AB
,
BC
=1,
AB
=
AC
=
AD
=2,则
BD
的长为( ▲ )
A.
B.
C.3
D.2
题型:不详
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已知两个连体的正方形(有两条边在同一条直线上)在正方形网格上的位置如图所示,请你把它分割后,拼接成一个新的正方形. (要求:在正方形网格图中用实线画出拼接成的新正方形且新正方形的顶点在网格的格点上,不写作法).
题型:不详
难度:
|
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如图所示,把一张长方形纸片对折,折痕为AB,以AB为中点O为顶点,把平角∠AOB三等分,沿平角的三等分线折叠,将折得的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形,那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的面图形一定是( )
A.正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
题型:不详
难度:
|
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