(本题满分12分)已知菱形ABCD的边长为1.∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。小题1:(1)特殊发现:如图1,若点E、F分别是边

(本题满分12分)已知菱形ABCD的边长为1.∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。小题1:(1)特殊发现:如图1,若点E、F分别是边

题型:不详难度:来源:
(本题满分12分)
已知菱形ABCD的边长为1.∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。
小题1:(1)特殊发现:如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点.求证:菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心;
小题2:(2)若点E、F始终分别在边DC、CB上移动.记等边△AEF的外心为点P.
①猜想验证:如图2.猜想△AEF的外心P落在哪一直线上,并加以证明;
②拓展运用:如图3,当△AEF面积最小时,过点P任作一直线分别交边DA于点M,交边DC的延长线于点N,试判断是否为定值.若是.请求出该定值;若不是.请说明理由。
答案




小题1:(1)证明:如图I,分别连接OE、0F
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD,BD平分∠ADC.AD=DC=BC
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°.
∠ADO=∠ADC=×60°=30°
又∵E、F分别为DC、CB中点
∴OE=CD,OF=BC,AO=AD
∴0E=OF=OA  ∴点O即为△AEF的外心
小题2:(2)
①猜想:外心P一定落在直线DB上。
证明:如图2,分别连接PE、PA,过点P分别作PI⊥CD于I,P J⊥AD于J
∴∠PIE=∠PJD=90°,∵∠ADC=60°
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°
∵点P是等边△AEF的外心,∴∠EPA=120°,PE=PA,
∴∠IPJ=∠EPA,∴∠IPE=∠JPA
∴△PIE≌△PJA, ∴PI=PJ
∴点P在∠ADC的平分线上,即点P落在直线DB上。
为定值2.
当AE⊥DC时.△AEF面积最小,
此时点E、F分别为DC、CB中点.
连接BD、AC交于点P,由(1)
可得点P即为△AEF的外心
解法一:如图3.设MN交BC于点G
设DM=x,DN=y(x≠0.y≠O),则 CN=
∵BC∥DA ∴△GBP∽△MDP.∴BG=DM=x.

∵BC∥DA,∴△NCG∽△NDM
,∴

,即
其它解法略。
解析

举一反三
若菱形两条对角线的长分别为6和8,则这个菱形的边长为( ▲ )
A.5B.10 C.20D.14

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如图,将一张等腰直角△ABC纸片沿中位线剪开后,可以拼成的四边形是(     ) 
A.矩形或等腰梯形B.矩形或平行四边形
C.平行四边形或等腰梯形D.矩形或等腰梯形或平行四边形

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如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AE∥DC,AB=6cm,则AE=        cm
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(12分)如图,已知矩形ABCD

小题1:(1)在图中作出△CDB沿对角线BD所在直线对折后的△C′DBC点的对应点为C′(用尺规作图,保留作图痕迹,不要求证明);
小题2:(2)设C′BAD的交点为E
①若DC=3cm,BC=6cm,求△BED的面积;
② 若△BED的面积是矩形ABCD的面积的,求的值.
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在四边形中,若有一组对角都为90°,另一组对角不相等的四边形我们称它为“垂直”四边形,那么下列说法正确的序号是       . (多填或错填得0分,少填酌情给分).
① “垂直”四边形对角互补;     ②“垂直”四边形对角线互相垂直;
③“垂直”四边形不可能成为梯形;④ 以“垂直”四边形的非直角顶点为端点的线段若平分这组对角,那么该“垂直”四边形有两组邻边相等.
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