如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，若AD＋BC=4cm，求：（1）对角线AC的长；（2）梯形ABCD的面积．

题型：不详难度：来源：

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，若AD＋BC=4cm，求：

（1）对角线AC的长；
（2）梯形ABCD的面积．

答案

（1）4cm　（2）8cm2

解析

分析：（1）过点D作AC的平行线DE，与BC的延长线交于E点，利用梯形的性质平移对角线AC，由题意可知，两条对角线与上、下底的和构成等腰直角三角形，已知斜边BE="AD+BC=4" ，可求直角边DE的长，即AC长；
（2）当四边形对角线互相垂直时，四边形的面积等于两条对角线积的一半，由此进行计算．
解答：
解：过点D作AC的平行线DE，与BC的延长线交于E点．
（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AC∥DE，
∴四边形ACED为平行四边形，AC=DE，AD=CE，
∵AB=CD，
∴梯形ABCD为等腰梯形，
∴AC=BD，
∴BD=DE，
又AC⊥BD，
∴∠BOC=90°
∵AC∥DE
∠BDE=90°，
∵BE=BC+CE=BC+AD=4，
根据勾股定理得：BD2+DE2=BE2，
即2BD2=（4），
解得BD=4，
即AC=4cm；
（2）∵AC⊥BD，AC=BD=4，
∴S =×AC×BD=8cm．
点评：本题考查了梯形常用作辅助线的方法：平移一条对角线，使梯形的两条对角线，上、下底的和围成三角形，再根据梯形其它条件解题．