解:(1) ∵ 四边形ABCD和四边形GCEF均为正方形 ∴ BC = DC,CG = CE,∠BCG =∠DCE = 90 ∴ △BCG≌△DCE (2) ∵ △BCG≌△DCE ∴ ∠GBC =∠EDC 又 ∵∠EDC +∠CED = 90 ∴ ∠BHE = 90,即BH⊥DE (3) 连结BD,由 (2) 知BH⊥DE
要使BH垂直平分DE,则必满足条件BD = BE ∵ 四边形ABCD是边长为1的正方形 ∴ BE =" DB" = 又 ∵ 四边形GCEF是正方形 ∴ 即当时,BH垂直平分DE |