在平行四边形ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于E、F，AE、BF相交于点M． （1）求证：AE⊥BF； （2）求证：DF=CE．

题型：湖南省期中题难度：来源：

在平行四边形ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于E、F，AE、BF相交于点M．
（1）求证：AE⊥BF；
（2）求证：DF=CE．

答案

证明：（1）∵在□ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF，
∴2∠BAE+2∠ABF=180°．
即∠BAE+∠ABF=90°，
∴∠AMB=90°．
∴AE⊥BF；
（2）∵在□ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA=∠EAB，
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DE=AD，
同理可得，CF=BC，
又∵在□ABCD中，AD=BC，
∴DE=CF，
∴DE﹣EF=CF﹣EF，
∴DF=CE．