一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M、N,与反比例函数y=的图象相交于点A,B.过点A分别作AC⊥x轴,AE⊥y轴,垂足分别为C,E;过点B分别作

一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M、N,与反比例函数y=的图象相交于点A,B.过点A分别作AC⊥x轴,AE⊥y轴,垂足分别为C,E;过点B分别作

题型:专项题难度:来源:
一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M、N,与反比例函数y=的图象相交于点A,B.过点A分别作AC⊥x轴,AE⊥y轴,垂足分别为C,E;过点B分别作BF⊥x轴,BD⊥y轴,垂足分别为F,D,AC与BD交于点K,连结CD。
(1)若点A,B"在反比例函数y=的图象的同一分支上,如图①,试证明:①S四边形AEDK=S四边形CFBK②AN=BM;
(2)若点A,B分别在反比例函数y=的图象的不同分支上,如图②,则AN与BM还相等吗?试证明你的结论。
答案
解:(1)证明;①∵AC⊥x轴,AE⊥y轴,∴四边形AEOC为矩形,
∵BF⊥x轴,BD⊥y轴,∴四边形BDOF为矩形,
∵AC⊥x轴,BD⊥y轴,∴四边形AEDK,DCCK,CFBK均为矩形,
∵OC=x1,AC=y1,x1·y1=k,∴S矩形AEOC=OC·AC=x1·y1=k
∵OF=x2,FB=y2,x2·y2=k,∴S矩形BDOF=OF·FB=x2·y2=k,
∴S矩形AEOC=S矩形BDOF,S矩形AEDK=S矩形AEOC-S矩形CFBK=S矩形BDOF=S矩形DOCK
S矩形AEDK=S矩形CFBK
②由①知S矩形AEDK=S矩形CFBK,AK·DK=BK·CK,
=,∵∠AKB=∠CKD=90°,∴△AKB∽△CKD,∴∠CDK=∠ABK,∴AB∥CD,
∵AC∥y轴,∴四边形ACDN是平行四边形,∴AN=CD同理BM=CD,∴AN=BM;
(2)解:AN与BM仍然相等,∵S矩形AEDK=S矩形AEOC+S矩形ODKC
S矩形BKCF=S矩形BDOF+S矩形ODKC
又∵S矩形AEOC=S矩形BDOF=k,∴S矩形AEDK=S矩形BKCF,∴AK·DK=BK·CK,
∴CK/AK=DK/BK,∴∠K=∠K,∴△CDK∽△ABK,
∴∠CDK=∠ABK,∴AB∥CD,
∵AC∥y轴,∴四边形ANDC是平行四边形,∴AN=CD,同理BM=CD,∴AN=BM。
举一反三
如图所示,在平行四边形ABCD中,E为CD的中点,连结AE并延长交BC的延长线于点F,SABCD =18,则S△ABF=(    )。
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在△ABC中,点P为BC的中点。
(1)如图(1),求证:AP<(AB+AC);
(2)延长AB至D,使得BD=AC,延长AC至E,使得CE=AB,连接DE
①如图(2),连接BE,若∠BAC=60°,请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系,写出你的结论,并加以证明;
②请在图(3)中证明:BC≥DE。
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已知如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=30°,∠C=60°,AD=2,BC=6,E为AB中点,EF⊥BC 于F。求EF的长。
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如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=70°,∠C=40°,DE∥AB交BC于点E,若AD=3,BC=10,则CD的长是
 [     ]
A.7
B.10
C.13
D.14
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将一个量角器和一个含30°角的直角三角板如图(1)放置,图(2)是由它抽象出的几何图形,其中点B在半圆O的直径DE的延长线上,AB切半圆O于点F,BC=OD。
(1)求证:FC∥DB;
(2)当OD=3,sin∠ABD=时,求AF的长。
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