如图1,以矩形ABCD的顶点A为原点,AD所在的直线为x轴,AB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.点D的坐标为(8,0),点B的坐标为(0,6),点F在对角
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如图1,以矩形ABCD的顶点A为原点,AD所在的直线为x轴,AB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.点D的坐标为(8,0),点B的坐标为(0,6),点F在对角
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如图1,以矩形ABCD的顶点A为原点,AD所在的直线为x轴,AB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.点D的坐标为(8,0),点B的坐标为(0,6),点F在对角线AC上运动(点F不与点A、C重合),过点F分别作x轴、y轴的垂线,垂足为G、E.设四边形BCFE的面积为S
1
,四边形CDGF的面积为S
2
,△AFG的面积为S
3
.
(1)试判断S
1
,S
2
的关系,并加以证明;
(2)当S
3
:S
2
=1:3时,求点F的坐标;
(3)如图2,在(2)的条件下,把△AEF沿对角线AC所在直线平移,得到△A′E′F′,且A′,F′两点始终在直线AC上,是否存在这样的点E′,使点E′到x轴的距离与到y轴的距离比是5:4?若存在,请求出点E′的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)S
1
=S
2
;
证明:∵FE⊥y轴,FG⊥x轴,∠BAD=90°,
∴四边形AEFG是矩形.
∴AE=GF,EF=AG.
∴S
△AEF
=S
△AFG
,
同理S
△ABC
=S
△ACD
.
∴S
△ABC
-S
△AEF
=S
△ACD
-S
△AFG
.
即S
1
=S
2
.
(2)∵FG
∥
CD,
∴△AFG
∽
△ACD.
∴
S
3
S
3
+
S
2
=(
FG
CD
)
2
=(
AG
AD
)
2
=
1
1+3
=
1
4
.
∴FG=
1
2
CD,AG=
1
2
AD.
∵CD=BA=6,AD=BC=8,
∴FG=3,AG=4.
∴F(4,3);
(3)∵△A′E′F′是由△AEF沿直线AC平移得到的,且A′、F′两点始终在直线AC上,
∴点E′在过点E(0,3)且与直线AC平行的直线l上移动.
∵直线AC的解析式是y=
3
4
x,
∴直线L的解析式是y=
3
4
x+3.
设点E′为(x,y),
∵点E′到x轴的距离与到y轴的距离比是5:4,
∴|y|:|x|=5:4.
①当x、y为同号时,得
y=
5
4
x
y=
3
4
x+3
解得
x=6
y=7.5
,
∴E′(6,
15
2
);
②当x、y为异号时,得
y=-
5
4
x
y=
3
4
x+3
解得
x=-
3
2
y=
15
8
,
∴E′(
-
3
2
,
15
8
).
∴存在满足条件的E′坐标分别是(6,
15
2
)、(
-
3
2
,
15
8
).
举一反三
某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时,将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD(DC<BC)的对角线交点O旋转(如图①→②),图中M、N分别为直角三角板的直角边与三角形DBC的边CD、BC的交点.
(1)在图①(三角板的一直角边与OD重合)中,有CN
2
+DC
2
=BN
2
成立,请说明理由.
(2)试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系,请你用一个等式在横线上直接表示出探究的结论:______.证明你的结论.
题型:不详
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|
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已知矩形的一条对角线长为18cm,两条对角线的一个交角为60°,求矩形的长和宽.
题型:不详
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已知:如图,在矩形ABCD中,AC是对角线.点P为矩形外一点且满足AP=PC,AP⊥PC.PC交AD于点N,连接DP,过点P作PM⊥PD交AD于M.
(1)若AP=
5
,AB=
1
3
BC,求矩形ABCD的面积;
(2)若CD=PM,求证:AC=AP+PN.
题型:不详
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如图,顺次连接圆内接矩形各边的中点,得到菱形ABCD,若BD=6,DF=4,则菱形ABCD的边长为( )
A.4
2
B.3
2
C.5
D.7
题型:不详
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如图,将矩形ABCD折叠,AE是折痕,点D恰好落在BC边上的点F处,量得∠BAF=50°,那么∠DEA等于( )
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
题型:不详
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