已知：如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上的一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，过点P作DP的垂线交BC于点G，DG交AC于点Q．下列说法：①EF=D

题型：不详难度：来源：

已知：如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上的一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，过点P作DP的垂线交BC于点G，DG交AC于点Q．下列说法：①EF=DP；②EF⊥DP；③

DG

DP

=

2

；④

AP2+QC2

PQ2

=

2

．其中正确的是（　　）

A．①②③④

B．①②③

C．①②④

D．①③④

答案

作PH⊥AD交AD于H，
∵PH=PE，∠HAP=∠EAP，∠AHP=∠AEP
∴△AHP≌△AEP（AAS）
∴AH=AE，HD=BE=PF，
∵HP=EP，∠EPF=∠PHD=90°
∴△PHD≌△EPF（HL）
∴EF=DP，∠EFP=∠PDH，
∵EP平行且相等于BF，BE=FP
∴△EBF≌△EPF（HL）
∴EB=PF，∠EFP=∠FPG，
∵∠EBF=∠PFG=90°，
∴∠BEF=∠EFP=∠FPG，
∴△EBF≌△PFG（ASA）
∴EP平行且相等于FG
∴四边形EFGP是平行四边形
依题意PG⊥DP，故EF⊥DP，
由上得出△PHD≌△EPF，△EBF≌△EPF，△EBF≌△PFG
∴△PHD≌△PFG
∴PD=PG，三角形PDG为等腰直角三角形，
故

DG

DP

=

2

所以①②③正确，故选B．