如图,在矩形ABCD中,点E对角线是BD上一点,作∠CEF=∠CBD,过点C作CF⊥CE交EF于F,连接DF.求证:(1)CECB=CFCD;(2)BD⊥DF.
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如图,在矩形ABCD中,点E对角线是BD上一点,作∠CEF=∠CBD,过点C作CF⊥CE交EF于F,连接DF.求证:(1)CECB=CFCD;(2)BD⊥DF.
题型:徐汇区二模
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如图,在矩形ABCD中,点E对角线是BD上一点,作∠CEF=∠CBD,过点C作CF⊥CE交EF于F,连接DF.求证:
(1)
CE
CB
=
CF
CD
;
(2)BD⊥DF.
答案
证明:(1)∵过点C作CF⊥CE交EF于F,
∴∠ECF=90°,
∵∠CEF=∠CBD,∠BCD=90°,
∴△BCD
∽
△ECF,
∴
CE
CB
=
CF
CD
,
(2)设EF和CD的交点为O,
∵△BCD
∽
△ECF,
∴∠BDC=∠EFC,
∵∠DOE=∠COF,
∴△DOE
∽
△COF,
∴
OE
OC
=
OD
OF
,
∴
OE
OD
=
OC
OF
,
∵∠DOF=∠EOC,
∴△ECO
∽
△DOF,
∴∠CFO=∠CDF,
∴∠EDC+∠CDF=∠BDC+∠DBC=90°,
∴∠BDF=90°,
∴BD⊥DF.
举一反三
如图,⊙O的半径OD经过弦AB(不是直径)的中点C,过AB的延长线上一点P作⊙O的
切线PE,E为切点,PE
∥
OD;延长直径AG交PE于点H;直线DG交OE于点F,交PE于点K.
(1)求证:四边形OCPE是矩形;
(2)求证:HK=HG;
(3)若EF=2,FO=1,求KE的长.
题型:宜昌
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已知矩形ABCD的对角线交于O点,且∠AOD=120°,AD=8cm,则AC=______.
题型:不详
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如图,在△ABC中,点D在AB上,且AD=CD=BD,DE、DF分别是∠BDC、∠ADC的平分线.四边形FDEC是矩形吗?为什么?
题型:不详
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矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.对角线互相垂直
B.4个角都是直角
C.对边相等
D.对角线互相平分
题型:不详
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如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点(点O不与A、C两点重合),过点O作直线MN
∥
BC,直线MN与∠BCA的平分线相交于点E,与∠DCA(△ABC的外角)的平分线相交于点F.
(1)OE与OF相等吗?为什么?
(2)探究:当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.
(3)在(2)中,当∠ACB等于多少时,四边形AECF为正方形.(不要求说理由)
题型:不详
难度:
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