解:(1)∵DE∥AC,DF∥AB,要使四边形AEDF为菱形,则只需一组邻边相等或对角线互相垂直即可, ∴当AD⊥EF时,四边形AEDF为菱形. (2)要使四边形AEDF为正方形,则只需在菱形的基础上,再加一角为直角即可,故△ABC为直角三角形即可满足条件. (3)由(1)、(2)可得,四边形AEDF为正方形,即在直角三角形BED中,根据勾股定理得:BD2=BE2+DE2,同理CD2=DF2+CF2, 又AD=AE=(BE+CF)×AE=BE×AE+CF×AE=BE×ED+CF×FD, 又(BE+ED)2=AB2,(CF+FD)2=AC2, 又三角形ABC中,根据勾股定理得:AB2+AC2=(BD+CD)2, 即(BE+ED)2+(CF+FD)2=(BD+CD)2, 整理得:BE2+DE2+2BE×ED+DF2+CF2+2CF×FD=BD2+CD2+2BD×CD, 即2(BE×ED+CF×FD)=2BD×CD, ∴BE×ED+CF×FD=BD×CD, 即AD=BD×CD.
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