如图，一个正方形摆放在桌面上，则正方形的边长为______．

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答案

如图，由正方形可得，AB=AD，∠BAD=90°，
∠1+∠2=180°-90°=90°，
∵BE⊥AE，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABE和△DAF中，

∠1=∠3

∠AEB=∠DFA

AB=AD

，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AE=DF=1，
在Rt△ABE中，AB=

BE2+AE2

22+12

，
即正方形的边长为

．
故答案为：

．

举一反三

如图所示，正方形ABCD对角线交于O，点O是正方形A′B′C′O的一个顶点，两个正方形的边长都是2，那么正方形A′B′C′O绕O无论怎样转动时，图中两个正方形重叠部分的面积为______．

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在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形CFDE是正方形．

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如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A、C两点作l₁∥l₂，作BM⊥l₁于M，DN⊥l₁于N，直线MB、ND分别交l₂于Q、P．求证：四边形PQMN是正方形．

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命题：如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，则OE=OF．
对上述命题证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE=∠AOF=90°，BO=AO．
又∵AG⊥EB，
∴∠1+∠3=90°=∠2+∠3．
∴∠1=∠2
∴Rt△BOE≌Rt△AOF．
∴OE=OF
问题：对上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其它条件不变（如图2），则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明现由．

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如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP．
（1）在图中是否存在两个全等的三角形，若存在请写出这两个三角形并证明；若不存在请说明理由；
（2）若（1）中存在，这两个三角形通过旋转能够互相重合吗？若重合请说出旋转的过程；若不重合请说明理由；
（3）PB与BE有怎样的位置关系，说明理由；
（4）若PA=1，PB=2，∠APB=135°，求AE的值．

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