(1)EG=CG,且EG⊥CG. 证明:过GH⊥AB于点H,延长HG交CD于点I,作GK⊥AD于点K. 则四边形GIDK是正方形,四边形AKGH是矩形, ∴AK=HG,KD=DI=GI=AH, ∵AD=CD, ∴IC=HG, ∵AD∥GH∥EF,G是DF的中点, ∴HA=HE, ∴HE=GI, ∵在Rt△HGE和Rt△ICG中, , ∴Rt△HGE≌Rt△ICG(SAS), ∴EG=CG,∠HGE=∠GCI,∠HEG=∠CGI, ∴∠HGE+∠CGI=90°, ∴∠EGC=90°, ∴EG⊥CG;
(2)成立. 证明:图2中,作GH⊥BC, 则EF∥GH∥CD, 又∵G是DF的中点, ∴EH=CH, 则GH是BC的中垂线, ∴GE=CG, ∵EF=EB,BC=CD ∴EF+CD=EC, ∵G是DF的中点,EH=CH, 则GH=(EF+CD), ∴GH=EC, ∴△EGC是等腰直角三角形, ∴EG=CG,且EG⊥CG; 图3中,延长FE交DC延长线于M,连MG. ∵∠AEM=90°,∠EBC=90°,∠BCM=90°, ∴四边形BEMC是矩形. ∴BE=CM,∠EMC=90°, 由图(2)可知, ∵BD平分∠ABC,∠ABC=90°, ∴∠EBF=45°, 又∵EF⊥AB, ∴△BEF为等腰直角三角形 ∴BE=EF,∠F=45°. ∴EF=CM. ∵∠EMC=90°,FG=DG
∴MG=FD=FG. ∵BC=EM,BC=CD, ∴EM=CD. ∵EF=CM, ∴EF+EM=CM+DC, 即FM=DM, 又∵FG=DG, ∠CMG=∠EMC=45°, ∴∠F=∠GMC. ∵在△GFE和△GMC中, , ∴△GFE≌△GMC(SAS). ∴EG=CG,∠FGE=∠MGC. ∵∠FMC=90°,MF=MD,FG=DG, ∴MG⊥FD, ∴∠FGE+∠EGM=90°, ∴∠MGC+∠EGM=90°, 即∠EGC=90°, ∴EG⊥CG. |