如图，正方形ABCD中，点P是AD上的一动点（与点D、点A不重合），DE⊥CP，垂足为E，EF⊥BE与DC交于点F．（1）求证：△DEF∽△CEB；（2）当点P

题型：不详难度：来源：

如图，正方形ABCD中，点P是AD上的一动点（与点D、点A不重合），DE⊥CP，垂足为E，EF⊥BE与DC交于点F．
（1）求证：△DEF∽△CEB；
（2）当点P运动到DA的中点时，求证：点F为DC的中点．

答案

证明：

（1）∵DE⊥CP，EF⊥BE，
∴∠1+∠3=∠DEC=90°，∠2+∠3=∠FEB=90°，
∴∠1=∠2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠4+∠6=∠DCB=90°，
而在Rt△DEC中，∠4+∠5=90°，
∴∠5=∠6，
∴△DEF∽△CEB；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC，
∵点P为DA的中点，
∴PD=

1

2

AD=

1

2

DC，
在Rt△PDC中，tan∠4=

PD

DC

=

1

2

，
在Rt△DEC中，tan∠4=

DE

EC

，
∴

DE

EC

=

PD

DC

=

1

2

，
∵△DEF∽△CEB，
∴

DF

CB

=

DE

EC

，
而CB=DC，
∴

DF

DC

=

1

2

，
∴点F为DC的中点．