如图1,已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合),PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F. (1)求证:BP=DP; (2)如图2,若四边形PEC

如图1,已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合),PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F. (1)求证:BP=DP; (2)如图2,若四边形PEC

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如图1,已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合),PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F.
(1)求证:BP=DP;
(2)如图2,若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转,在旋转过程中是否总有BP=DP?若是,请给予证明;若不是,请用反例加以说明;
(3)试选取正方形ABCD的两个顶点,分别与四边形PECF的两个顶点连接,使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等,并证明你的结论.


答案
(1)证明: 证法一:在△ABP与△ADP中,
∵AB=AD∠BAC=∠DAC,AP=AP,
∴△ABP≌△ADP,
∴BP=DP.
证法二:利用正方形的轴对称性,可得BP=DP.
(2)解:不是总成立.
当四边形PECF的点P旋转到BC边上时,DP>DC>BP,此时BP=DP不成立,
说明:未用举反例的方法说理的不得分.
(3)解:连接BE、DF,则BE与DF始终相等,
在图1中,由正方形ABCD可证:AC平分∠BCD,
∵PE⊥BC,PF⊥CD,
∴PE=PF,∠BCD=90°,
∴四边形PECF为正方形.
∴CE=CF,
∵∠DCF=∠BCE,BC=CD,
∴△BEC≌△DFC,
∴BE=DF.
举一反三
如图,已知正方形ABCD,点E是BC上一点,以AE为边作正方形AEFG.
(1)连接GD,求证:△ADG△ABE;
(2)连接FC,求证:∠FCN=45°;
(3)请问在AB边上是否存在一点Q,使得四边形DQEF是平行四边形?若存在,请证明;若不存在,请说明理由.
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下列说法中错误的是 [     ]
A.四个角相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的矩形是正方形
C.对角线相等的菱形是正方形
D.四条边相等的四边形是正方形
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下列说法错误的是 [     ]
A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B.对角线相等的平行四边形是矩形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相平分的四边形是平行四边形
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边长为1的正方形的对角线的长是[     ]
A. 整数
B. 分数
C. 有理数
D. 无理数
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已知正方形ABCD中,CM=CD,MN⊥AC,连接CN,则∠DCN=(    )。
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