Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC边于点D,E是边BC的中点,连接OD、DE.①求证:直线DE是⊙O的切线.②当⊙O的半径为,DE=1时

Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC边于点D,E是边BC的中点,连接OD、DE.①求证:直线DE是⊙O的切线.②当⊙O的半径为,DE=1时

题型:湖北省月考题难度:来源:
Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC边于点D,E是边BC的中点,连接OD、DE.
①求证:直线DE是⊙O的切线.
②当⊙O的半径为,DE=1时,求AD长.
③探究:当Rt△ABC的边AB、BC满足什么条件时,四边形OBED是正方形?说明理由.
答案
解:如下图所示,连接BD,
(1)∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∵O是AB的中点,
∴OA=OB=OD,
∴∠OAD=∠ODA,∠ODB=∠OBD,
同理在Rt△BDC中,E是BC的中点,
∴∠EDB=∠EBD,
∵∠OAD+∠ABD=90°,∠ABD+∠CBD=90°,
∴∠OAD=∠CBD,
∴∠ODA=∠EBD,
又∵∠ODA+∠ODB=90°,
∴∠EBD+∠ODB=90°,
即∠ODE=90°,
∴DE是⊙O的切线.
(2)∵⊙O的半径为时,
∴AB=2
又∵E为BC的中点,
∴DE为△ABC的中位线,
故AD=DC,
∴AD==
(3)当AB=BC时,三角形为等腰直角三角形,此时,四边形OBED是正方形.
∵AB=AC,
∴△ABC为等腰直角三角形,
∴O、E为AB、BC中点,
∴OB=BE,
又∵∠OBE=∠ODE=90°,
∴四边形OBED是正方形.

举一反三
如图,正方形木框ABCD的边长为1,四个角用铰链接着,一边BC固定在桌面上,沿AD方向用力推.正方形变成四边形A′BCD′,设A′D′交DC于点E,当E是DC的中点时,两四边形ABCD、A′BCD′重叠部分的面积是(    ).
题型:江西省月考题难度:| 查看答案
如图,正方形ABCD,以AD为边作等边△ADE,则∠AEB的度数为 _________
题型:江苏月考题难度:| 查看答案
如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边,延长AB到E,使AE=AC,以AE为一边作菱形AEFC,若菱形的面积为,求正方形边长.
题型:广东省月考题难度:| 查看答案
在正方形ABCD中,点P是CD上一动点,连接PA,分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA,垂足分别为E、F.
(1)如图1,请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系.直接写出结论.
(2)若点P在DC的延长线上(如图2),那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系,并证明.
(3)若点P在CD的延长线上呢(如图3)?请分别直接写出结论并简要说明理由.
题型:广东省月考题难度:| 查看答案
如图①,ABCD是一张正方形纸片,E、F分别为AB、CD的中点,沿过点D的折痕将A角翻折,使得点A落在EF上(如图②),折痕交AE于点G,那么∠ADG等于(    )度.
题型:广东省期末题难度:| 查看答案
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