已知:如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,点P是腰DC上的一个动点(P与D、C不重合),点E、F、G分别是线段BC、PC、BP的中点.(1)试探索

已知:如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,点P是腰DC上的一个动点(P与D、C不重合),点E、F、G分别是线段BC、PC、BP的中点.(1)试探索

题型:不详难度:来源:
已知:如图,等腰梯形ABCD中,ADBC,AB=DC,点P是腰DC上的一个动点(P与D、C不重合),点E、F、G分别是线段BC、PC、BP的中点.
(1)试探索四边形EFPG的形状,并说明理由;
(2)若∠A=120°,AD=2,DC=4,当PC为何值时,四边形EFPG是矩形并加以证明.
答案
(1)四边形EFPG是平行四边形.(1分)
理由:∵点E、F分别是BC、PC的中点,
∴EFBP.(2分)
同理可证EGPC.(3分)
∴四边形EFPG是平行四边形.(4分)

(2)方法一:当PC=3时,四边形EFPG是矩形.(5分)
证明:延长BA、CD交于点M.
∵ADBC,AB=CD,∠BAD=120°,
∴∠ABC=∠C=60°.
∴∠M=60°,
∴△BCM是等边三角形.(7分)
∵∠MAD=180°-120°=60°,
∴AD=DM=2.
∴CM=DM+CD=2+4=6.(8分)
∵PC=3,
∴MP=3,
∴MP=PC,
∴BP⊥CM即∠BPC=90度.
由(1)可知,四边形EFPG是平行四边形,
∴四边形EFPG是矩形.(10分)

方法二:当PC=3时,四边形EFPG是矩形.(5分)
证明:延长BA、CD交于点M.由(1)可知,四边形EFPG是平行四边形.
当四边形EFPG是矩形时,∠BPC=90度.
∵ADBC,∠BAD=120°,
∴∠ABC=60度.
∵AB=CD,∴∠C=∠ABC=60度.
∴∠PBC=30°且△BCM是等边三角形.(7分)
∴∠ABP=∠PBC=30°,
∴PC=PM=
1
2
CM.(8分)
同方法一,可得CM=DM+CD=2+4=6,
∴PC=6×
1
2
=3.
即当PC=3时,四边形EFPG是矩形.(10分)
举一反三
如图,在等腰梯形ABCD中,已知ADBC,AB=CD,AE⊥BC于E,∠B=60°,∠DAC=45°,AC=


6
,求梯形ABCD的周长?
题型:不详难度:| 查看答案
梯形ABCD的一条对角线将该梯形分成面积比为1:5的两个三角形,则梯形ABCD的中位线MN,将该梯形分成的两个梯形的面积比为______.
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如图,在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10.点E在底边BC上,点F在腰AB上.若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE的长为x,△BEF的面积为y,用含x的代数式表示y,可表示为:______.
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如图,梯形ABCD中,∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P,若EF=2,则梯形ABCD的周长为(  )
A.12B.10C.8D.6

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如图,矩形ABCD沿DF折叠后,点C落在AB边上的点E处,DE、DF三等分∠ADC,若AB=6


3
,则梯形ABFD的中位线的长为______.
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