∵在直角梯形ABCD中,AD∥BC, ∴∠DCB+∠ADC=180°,∠BAD=∠B=90°, ∵∠DCB=75°, ∴∠ADC=105°, ∵△DCE是等边三角形, ∴∠EDC=∠DCE=60°, ∴∠EDA=45°, ∴∠AED=45°, ∴AE=AD, 故:①AE=AD此选项正确;
证明:连接AC, ∵∠AED=∠ADE=45°, ∴AE=AD ∵△DCE是等边三角形, ∴CE=CD ∵AC=AC, ∴△ECA≌△ECA, ∴∠ECA=∠DCA=30°, ∵∠DCB=75°, ∴∠ACB=45° ∵∠B=90°, ∴∠CAB=45°, ∴∠CAB=∠ACB, ∴AB=BC; 故②AB=BC选项正确;
∵∠FBC=30°,∴∠ABF=60°. 连接AF,BF、AD的延长线相交于点G, ∵∠FBC=30°,∠DCB=75°, ∴∠BFC=75°,故BC=BF. 由②知:BA=BC,故BA=BF, ∵∠ABF=60°, ∴AB=BF=FA, 又∵AD∥BC,AB⊥BC, ∴∠FAG=∠G=30°. ∴③∠DAF=30°此选项正确; ∴FG=FA=FB. ∵∠G=∠FBC=30°,∠DFG=∠CFB,FB=FG, ∴△BCF≌△GDF. ∴DF=CF,即点F是线段CD的中点. 故⑤点F是线段CD的中点此选项正确; 连接AC,交ED与点H, 由以上分析可以易证AC⊥DE, S△AED:S△CED=DE•AH:DE•CH=AH:CH, ∵AE=AD,∠AED=45°, ∴AH=DE, ∵△EDC为等边三角形, ∴CH=DE, ∴S△AED:S△CED=1: ∴④选项正确; 故正确的有:5个, 故选:A. |