如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BC=CD，E为梯形内一点，∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°，使BC与DC重合，得到△DC

题型：不详难度：来源：

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BC=CD，E为梯形内一点，∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°，使BC与DC重合，得到△DCF，连接EF交CD于点M．给出以下5个命题：
①DM：MC=MF：ME；           
②BE⊥DF；
③若sin∠EBC=

1

2

，则S△BCE=(3+

3

)S△EMC；
④若tan∠EBC=

1

3

，BC=

10

，则点D到直线CE的距离为1；
⑤若M为EF中点，则点B、E、D三点在同一直线上．
则正确命题的个数（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

答案

①根据题意得：△BCE≌△DCF，
∴∠EBC=∠FDC，
∵AD∥BC，∠ADC=90°，∠BEC=90°，
∴∠BCD=∠BEC=90°，
∴∠BCE+∠ECM=∠BCE+∠EBC=90°，
∴∠ECM=∠EBC=∠FDC，
∴EC∥DF，
∴△ECM∽△FDM，
∴DM：MC=MF：ME；
故①正确；
②∵∠BEC=90°，
∴BE⊥EC，
∵EC∥DF，
∴BE⊥DF．
故②正确；
③∵△ECM∽△FDM，
∴EC=CF，BC=DC，
∵sin∠EBC=

1

2

，
∴

EC

BC

=

EC

CD

=

1

2

，
∴EC：DF=1：

3

，
∴S_△ECM：S_△FDM=1：3，
∵CM：DM=1：

3

，
∴S_△FDM：S_△DCF=

3

：（1+

3

），
∴S△BCE=(3+

3

)S△EMC．
故③正确；
④过点D作DN⊥EC 交EC的延长线于点N，


∵tan∠EBC=

1

3

，BC=

10

，
∴tan∠DCN=

1

3

，CD=

10

，
∴DN=1，
则点D到直线CE的距离为1；
∴④正确；
⑤∵M为EF中点，
∴EM=FM，
∵CE=CF，
∴△CEF与△DEF是等腰直角三角形，
∴DM=CM，
∴四边形DECF是平行四边形，


∵∠ECF=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴∠DEC=90°，
∵∠BEC=90°，
∴∠BED=180°，
∴点B、E、D三点在同一直线上．
故⑤正确．
∴正确命题的个数是5个．
故选D．